SUR LES PROPRIÉTÉS DU POTENTIEL
Aitri iiuilheinalica. l. ÎC, p. 89-r7S (1898).
Introduction.
Uae courbe de genre/» dépend de ?>p — 3 modules; les fonciions & à. p variables qui dérivenl d'une courbe alg(''bri(|ue par le procédé de Riemann dépendent donc de Sp — 3 paraiiièlres arbitraires. Les fonciions 0 les plus générales de p variables dépendent de
jnp
paramètres arbitraires. Pour /) ;= a et pour/» = 3, les deux nombres sont égaux et l'on a
Pour p >> 3, le premier nombre est toujours plus petit ([ue le second. Il j a donc des fonciions 0 qu'on ne peut obtenir par les procédés de Riemann.
Nous arrivons donc à celte conclusion que les fonctions définies par Riemann ne sont par les fonctions les plus générales qui ont/; variables et 2/? périodes. Nous sommes ainsi amené à nous poser la question suivante :
Toutes les fonctions qui ont /> variables et 9.p périodes peuvent-elles être regardées comme un quotient de fonctions 0 ?
POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. l63
Weiersirass s'esl préoccupé de celte question et est arrivé à démontrer que la réponse doit être affirmative.
Mais sa démonstration est restée longtemps inédite et n'était connue que de quelques-uns de ses élèves.
M. Picard et mol, abordâmes le même problème en i883, et publiâmes à ce sujet une Note dans les Comptes rendus (décembre 1S8.':)) ('). Nous connaissions le résultat de VVeiortrass, mais nous ignorions les procédés par lesquels il y était parvenu.
Quand la démonstration de Weiersirass ayant été enfin imprimée {Oh'ui'res complètes, t. 3), je pus en avoir connaissance, je reconnus la complète identité des deux démonstrations.
La démonstration de M. Appell est au contraire complètement différente de celle de Weiersirass.
Mais elle se rattachejà un problème difTérenl, étroitement apparenté à celui qui nous occupe, et dont je dois d'abord dire quelques mots.
Soit une fonction de plusieurs variables; elle est méromorphe, c'est-à-dire que dans le voisinage d'un point quelconque, elle peut être égalée au quotient de deux séries de puissances, convergentes dans une certaine étendue. Est-elle toujours le quotient de deux fonctions entières, c'est-à-dire de deux séries de [)uissances toujours convergentes ?
La réponse doit être affirmative. C'est ce que j'ai démontré dans le Tome 2 des Acta mathematica ('-).
En s'appujant sur ce résultat et sur les pro|5riétés de certaines équations aux diflérences finies, M. Appell a donné une démonstration entièrement nouvelle du théorème de Weiertrass [Journal de Liouville, i8gi ).
Mais en réfléchissant sur la démonstration contenue dans mon Mémoire cité plus haut du Tome 2 des Acta, je me suis aperçu qu'il suffit d'j changer peu de chose pour en tirer une troisième démonstration du théorème de Weiertrass, entièrement différente des deux premières.
C'est cette troisième démonstration dont je voudrais faire l'objet du présent Mémoire.
Je dois m'appuyer sur les propriétés du potentiel dans l'espace à n dimensions. Ces propriétés sont bien connues et je n'aurai le plus souvent qu'à les rappeler.
(') Voir ce Tome IV, p. .J07.
(•) Voir i-e Tnnje IV, p. 1I7.
iG] POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
Mais quelques-unes d'entre elles représentent un certain intérêt; on me pardonnera si, à roccasion, j'y insiste un peu plus qu'il n'est nécessaire pour mon sujet.
C'est ainsi que les paragraphes IV et V pourraient être supprimes sans que la démonstration en souffrit le moins du monde.
J'observerai que la démonstration que je donne ici est plus simple que celle que j'ai donnée dans le Tome 2, où j'ai employé un détour inutile, dans la crainte un peu puérile de redémoutrer des théorèmes déjà connus.
