II. — Fonctions harmoniques
Une fonction V de n variables
est dite liarmoniqur dans un certain domaine :
i" Si dans ce domaine elle est finie, continue et possède des dérivées des deux premiers ordres.
2" Si dans ce domaine ses dérivétis du second ordre satistont à l'équation de
La place :
si le domaine s'étend à l'infini, il faut de plus que la fonction V s'annule à l'infini.
Considérons les « variables j; comme les coordonnées d'un point dans l'espace à ;; dimensions; la dislance du point mobile ar,, .t-j. . . ., .r„, au point fixe rt,, rt-j, . . . , a,i est égale par définition à
/• = v'-^l— lti)--Jr(Xi.— (!■,)- + .. .-+- (x„— a,,)-.
On voit aisément que
est une fonction harmonique dans tout l'espace, sauf au point
.(■, = «,, X-. = rto, ..., x„=a„.
Pour n =: 3, c'est-à-dire dans l'espace ordinaire, on a nous retombons donc sur le potcnliel ncwlonieu.
POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. l65
Les propriéLés du potentiel uewtouien sont bien connues; elles peuvent d'ailleurs en général être étendues facilement au cas de n quelconque.
La première de ces propriétés est le théorème de Green exprimé par l'équation
la seconde intégrale est étendue à tous les éléments d~ d'un volume T et la première à tous les éléments d',i de ia surface S qui limite ce volume.
La dérivée -7- représente la dérivée estimée suhrint la normale à l'été-
ment c?oj, c'est-à-dire que l'on a
d\ , fis , r/V , .A' rfv (Ixi aXî ax..
ly, In et /j étant les cosinus directeurs de l'élément de surface dw.
Les fonctions V' et U doivent être finies et continues, et posséder des dérivées des deux premiers ordres.
Théorème I . — Si V et U sont des fondions harmoniques, il reste
f/llj
Une autre propriété du potentiel newtonien est la suivante : si un potentiel est dû à des masses attirantes, il est une fonction holomorphe de Xi, x-,. x,s en tout point situé hors des masses attirantes.
ThéorIîvie 2. — Considérons par exemple une surface attirante : soit Jw' un élément de cette surface: .r', , x'.,, x. les coordonnées du centre de gravité de cet élément; r la distance des deux points x\, x'.,, a;',, et 37, , Xn, x.i- Le potentiel aura pour expression
0 dui'
0' étant une fonction de x\, x'„, x'^; c'est cette fonction que ion appelle ordinairement la densité superficielle de la matière attirante.
Considérons un sphère
ifiC) POTENTIEL ET FONCTIONS ABELIENNES.
ayant pour centre l'origine et supposons (jiie la surface aUiraule soil loul enliéi-c en dehors de cette sphère, de sorte que l'on ail
Développons
- = [(x'i — Xi y^-\- (x', — x.f ■+- ( x', — j::, )]~ '
suivant les puissances de .r, , ^To, .r,. Les coefficients du développement seront plus petits que les coefficients correspondants du développenienl de
[^e développement est donc uniformément convergent par rapport à x\, x'.^^ x. pourvu (|ue
V(ll|iJ^d)<,
ou enfin pourvu (|uc
IMiis géiiéralcnient le (lc\eloppemenl de
sui\unt les puissances croissantes des Jk a ses coefficients plus petits que ceux du développement de
en posant
Le développement converge donc uniformément pourvu que
I^a-Kp (t/i-t- '^ — ij (A- = i,2, ..., «)■
Soil donc
(■i) S A a;?' a:?' xj"
le développement de suivaul les puissances de x,, jtj el./:,. La convergence de ce développemcnl est uniforme, lanl par rapport à x\ , x'.,, x. que par rapport à JCi, X-,, x.^ pourvu que ces quantités satisfassent ans inégalités
£ étant une quantité aussi petite que l'on veut.
Les coefficients A sont, bien entendu, des fonctions des x,.. il vient alors
V= Çï^^-Zx^^xr'^xl TaSVA./.
Comme la convergence de la série (2) est uniforme, la série du dernier membre de (3) converge également et représente V. Donc le potentiel V peut être développé en série procédant suivant les puissances de x^. x^, x^ pourvu que les modules de ces quantités soient assez petits.
Pour que ce résultat soit exact, il n'est pas nécessaire que la fonction 0' soil finie et continue, il snffil que l'intégrale
existe et soit finie. Par exemple, en un point Q de la surface attirante, la densité 0' pourra devenir infinie, pour\u que le produit de la densité ô' au point M' par la distance M'Q tende vers une limite finie quand la distance M'Q tend vers zéro.
En eiïel, d'après la discussion précédente nous avons
lî et II étant deux nombres indépendants des exposants v. et des coordonnées x\, x'.,, x'.. On a donc
CwiIm' </(2.+'=^'-.Iî Ç 0
du)'.
ce qui montre que la série (3) converge pourvu que / j '5' ] d'W soit finie. Par un simple cliangement d'origine, on démontrerait que Vestdéveloppable
ifiS POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
suivant les puissances de Xi — </i, .r-, — «31 ■l'.i — «3 pourvu que l'on puisse trouver des nombres p et s tels que
(jTi— «,)--^-f- (^2— «2)--!- (ar.i— «3)- = ?- ( — — I J — £•
Or c'est ce qu'on peut toujours faire, pourvu que le point fli, a^, a^ ne soit pas sur la surface alliraule.
Le potentiel V^ est donc une fonction holomorphe dans tout l'espace sauf sur la surface attirante.
En particulier, ce sera une fonction holouiorplie en tout point de la sphère
Cela ne veut pas dire que la série (3) converge en tous les points de cette sphère; tout ce que nous avons démontré, c'est que la convergence a heu en tous les points de la sphère concentrique dont le rayon est
Mais la série présente une particularité curieuse; supposons que dans la série (3) on groupe ensemble tous les termes de même degré; chacun de ces groupes formera un polynôme homogène en .ri, .ro, x.i et satisfaisant à l'équation de Laplace; c'est ce qu'on appelle un polynôme sphérique.
Quand les termes sont ainsi groupés. la série (3) converge en tous les points de la sphère de rayon p; et en ellet la série (2), si l'on convient de grou[)er ensemble les termes de même degré, converge uaiformément dans toute sphère de rayon plus petit que p.
Je n'insisterai pas davantage sur la démonstration de celle proposition qui est bien connue et qui ne m'est d'ailleurs pas utile pour mon objet.
La condition de convergence absolue de la série (3) est donc
si l'on groupe ensemble les termes de même degré et
si on laisse ces termes séparés les uns des autres.
C'est ainsi que la série allernée
ifi()
n'est pas absolument convergente, mais i[n"elle le devient si l'on groupe les termes de la manière suivante
Passons au cas dit de la double coucbe.
TiiûoRÙviE 3. — Soient l\, l'.., l'. les cosinus directeurs de l'élément de surface d'W; x\, x'.,, x'. les coordonnées du centre de yravilé de cet élément, et 0' une fonction quelconque de ces coordonnées; soit toujours r la distance des points Xi, x-,, Xs et x\, x',. y,. Considérons l'intégrale
,lx,
ilx%
■ dx^
Celte intégrale est ce qu'on appelle le potentiel d'une double couche. Soit encore
soit
le développement de l'expression qui figure entre parenllièses sous le signe /
par rapport aux puissances de Xi, Xo et x^. Comme l[, /' et l'. sont limités, nous voyons d'abord que ce développement converge et que la convergence est uniforme tant par rapport aux ^r' que par rapport aux x pourvu ([uo
Par conséquent V peut se développer suivant les puissances de Xi, X2, x-s et le développement converge pourvu que
■xl < p^
lyo POTENTIEL ET FONCTIONS ABELIENNES.
Donc le polenliel V d'une double couche aUlranle est une fonclioii liolomorphe dans toul l'espace, sauf sur la double couche alliranie elle-même.
Cela resterait vrai, même si ô' pomail devenir infini, pourvu que l'inlf^grale
j o' \ c/oj'
soit finie.
Enfin si Ion groupe ensemble les termes de même degré, le dé\eloppeuienl de V converge absolument pourvu que
x'I -\- xl -h xl <i p-, et chaque terme de ce développement est un polynôme sphcrique.
Théoricme 4. — Considérons une surface fermée quelconque S.
Soit V une fonclion (|iii soit iiarmonique à l'intérieur de S, sauf sur tous les points d'une certaine courbe singnlière C.
Soit p la plus courte distance du point ./■,, x-2, .r.t à la courbe singulière C. ,1e suppose que
logp ' r/xi ' (Ix-, ' fixi
restent finis quand p tend vers zéro et que le point .ri, x-,, ./;, se rapproche indéfiniment de la courbe C.
Je supposerai que la surface S et la courbe C sont analytiques et qu'elles ne se louchent en aucun point de façon qu'elles se coupent sous un angle fini.
Considérons maintenant le vecteur F dont les composantes sont
r/\ ,P\ rA
l/X\ i/j-> ilx-
Soit ensuite M le point j",, x-,^ .r, et N le point de la courbe G qui est le plus rapproché de M; la droite MN est par conséquent normale à la courbe C et c'est sa longueur que nous avons appelée plus haut p.
Soit <J> la projection du vecteur F sur la droite MiN.
Je suppose que le produit p<I> tend vers une limite bien déterminée i\i. quand le point M se rapproche indéfiniment du point N. Cette limite 2p. est, bien entendu, une fonction de la position du point N sur la courbe C; mais elle ne dépend pas de la direction de la droite MN dans le plan normal en N à la courbe C.
Nous envisagerons encore un point P intérieur à S et dont les coordonnées s'aj)pelleront j)', , j>^., y.,.
Construisons un domaine D défini par les trois conditions suivantes :
i" Les points de ce domaine sont intérieurs à S. 2" La distance d'un point de ce domaine à I' est plus grande que s. '.V La distance d'un point de ce domaine à la courbe C est plus grande que £.
Le domaine D est limité par trois surfaces :
1" par la surface S, ou plutôt par la jiortion S, de cette surface dont lous les points sont à une distance de C plus grande que e;
2" par la sphère i île centre P et de rajon s;
3" par une surface-canal K, enveloppe des sphères de rajon e dont le centre est sur C. L'équation do cette surface-canal peut s'écrire p = £.
Si la courbe G coupe la surface S en h points, la surface-canal Iv découpera sur la surface S. si £ est très petit, h petites courbes fermées entourant ces /* points. La portion de S située en dehors de ces h petites courbes est celle que nous venons d'appeler Si; la portion de S située à l'intérieur de ces h petites courbes pourra s'appeler S^.
Posons
r"- = (x,— y,y-+ (Xi — y,y--h (X3 — y,y-; U = -•
Les fonctions V et U sont harmoniques dans le domaine D et le théorème de Green nous donne
V — i u -^ I f/oj = o.
Les intégrales doivent être étendues à toutes les surfaces qui limitent le domaine D, c'est-à-dire aux surfaces S,, i cl K; nous aurons donc
Faisons maintenant tendre £ vers zéro et voyons vers quelle limite tendra chacune de ces trois intégrales.
Occupons-nous d'abord de / . Je dis que cette intégrale tend vers une
limite finie et déterminée que l'on peut considérer, d'après les conventions hahiluelles, comme la définition de l'intégrale / étendue à la surface S tout entière.
11 suffit pour cela de montrer que l'inti'grale
est finie; la fonction sous le signe / devient infinie aux // points où la
courbe G coupe la surface S; mais comme il s'agit d'une intégrale dou])le, il suffit, pour que l'intégrale soit finie, qu'en tout point M, voisin de l'un
de ces h points que j'appelle Q, la fonction sous le signe / soit au plus
de l'ordre de l'inverse de la distance MQ, ou ce qui revient au même de
l'ordre de -•
Or U et — ,- sont finis, V est tle l'ordre de lo<;p et ,- de l'ordre de - ■ La
'l'i °' /ri p
condition est donc remplie.
Pour la même raison
Js •• s
sont finies. Donc, d'après un lliéoréme démontré plus haut, l'intégrale
est une fonction holomorphe de ),, j'o, j;, pourvu que le point j'i, );>, y.t soit à l'intérieur de S.
En effet l'intégrale
n'est autre chose que le potentiel de double couche envisagé plus haut
les notalions seules sonl changées, oa passe de la seconde intégrale à la première en changcanl Xi, x-,, Xi en Yi, r-i-, V.i', x\. x'.,, x'. en x,, x-,, x^; c/co' en ddi ; ô' en V.
De même l'intégrale
n'est autre chose (|ue l'intégrale
,n,' (lu,
qui représente le potentiel d'une surface attirante. 11 n'y a qu'un changemont de notations et Ion passe de l'une à l'autre en changeant les x en r,
les x' en x. f/w' en d'ji, ô' en —j^-
Voici donc un premier résultat : la limite pour e := o de Vintégiale j est une fonction liolornovpiie. des y.
Passons à l'intégrale / ; la surface de la sphère est .^r^z"^. V et —p sont finis;
L) est égal a - et —=- a — • Donc
est de l'ordre de £ et tend vers zéro; et d'autre part
hm j \-^fh.> = hm / V— =.\T.\{y„y..,y,.), c'est-à-dire que
Considérons enfin l'intégrale / .
La surface-canal K est engendrée pas des circonférences de rajon £ dont le plan est normal à la courbe C. Soient Q et Q' deux points infiniment voisins de la courbe C; considérons les deux circonférences dont le plan est normal à C aux deux points Q et Q'. La portion de la surface comprise entre ces deux circonférences sera ce que j'appellerai un « segment » de la surface.
Si l'arc QQ' esl égal à ds, l'aire du segment correspondant sera iT.£.ds. Considérons noire intégrale
et étendons-la à ce segment.
U et -^ sont finies; V est d(' l'uidre de loc£ et — de l'ordre dt; • Alors l'intégrale
est de l'ordre de £ logs et Icnd vers zéro. L'intégrale
tend au contraire vers une limile Unie; qui esl égale an produit
, ,. / ./V\ ,. I y.-^ (Is \\m \ i -- \ \\n\ - ■
\ ih, 1 r
La limite de s. —r- est ce que j'ai appelé plus haut •?.[j.. La limilt' de - est
l'inverse d«; la distance du [loinl P au centre de gravité de l'élcmenl ds. L'intégrale devrait être étendue à la portion Iv, de la surface K (jui est à l'inlérieur de S; considérons l'intégrale
étendue à la portion IVj de la surface K engendrée par les circonférences de rayon e dont le centre est sur la partie de C intérieure à S.
Les deux surfaces K| et K-, ne coïncident pas exactement parce qu'il peut j avoir des circonférences de rayon £ qui ne sont qiu; partiellement intérieures à S, ou encore des circonférences qui sont intérieures à S mais dont le centre esl extérieur à S, ou inversement.
Mais si e est très petit, l'aire totale des parties de Kf qui n'appartiennent pas à Kl, ou celle des parties de K^ qui n'appartiennent pas à K,, esl de
l'ordie de £-'. El, comme la fonction sous le signe / esl de l'ordre de -i la différence
est de l'ordie de £ et tend vers zéro.
Quant à l'inlégrale / , elle esl la somme des intégrales relatives aux
segments qui correspondent à la partie de C intérieure à S. Elle tend duuc vers la limite
où r désigne la distance du point P à l'élément ds.
C'est, au facteur — /jt: prés, le potentiel par rapport au point P de la ligne attirante C, la densité linéaire étant égale à tj..
Ce poteullel multiplié par — /ir. est donc la limite vers laquelle tend notre
intégrale / .
Donc en passant à la limite, notre équation
nous apprend que V(j)',, }.j, j'^) est égal au potentiel ilc celte ligne attirante plus une fonction des j-, holomorphe à l'intérieur de S. Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :
Théorème -4. — La f onction \ satisfaisant aux conditions énoncées plus haut est égale îi V intérieur de S ci une fonction holumorplie plus le potentiel d'une ligne attirante; la ligne attirante est C et la densité linéaire est ;-t.
Si en particulier on suppose que \ est harmonique dans toute la région intérieure à S, ,a sera nul; et V sera une fonction holomorphe en tout point intérieur à S.
D'où cette conséquence.
Toute fonction harmonique dans un domaine esl holomorphe dans ce domaine.
J'ai insisté un peu sur cette démonstration, parce que c'est le modèle sur lequel sera calquée plus loin la démonstration d'un théorème important.
Tous ces résultats s'étendent facilement au cas d'un nombre quelconque de variables; et d'abord le théorème de Green.
Considérons dans l'espace à n dimensions un domaine D et la variété fermée an — I dimensions S qui limite ce domaine.
Considérons une portion de celle variélé assez pelile pour cjue ses équalions puissent se mellre sous la forme suivanle :
Les H sont des variables auxiliaires et les o sont des séries procédant suivant les puissances des u.
Considérons le jacobien ou déterminant fonctionnel de
par rapport à
Ce jacobien étant évidemment une fonction linéaire des indéterminées oc, je l'appelle
Soit ensuite
Do = V L)ï-hL)5-^..--i-I->^
L'intégrale /« — i?"-'
/ ï)o'lll\<lui . . . thln—i
étendue à une portion 11 de la variété S s'appellera Vaire de cette portion II; les intégrales ii — i""'""
i Mirluxfln, . . . ilu„-\, ..., / 0„
/(/i ihi i . . . ilu ,i—\
s'appelleront les projections de celle aire sur les espaces coordonnés. Si la portion II est infiniment petite, l'intégrale
pourra s'appeler l'aire d'un élément de la variélé S et se représenter par </aj. Les rapports
\K Do' ■■■' D„
seront les cosinus directeurs do l'élément dai.
Nous poserons alors, y étant une fouclion (juelconque des x :
(/v bu '/.l'i Dû '/'i Du iIj:,,
Ces définitions posées, le théorème de Green se généralise immédiatement et l'on a :
Théorème 1 généralisé. — Si V et U sont deux fonctions liartnoniques dans le domaine D, on a
f/co = o.
On trouve de même :
Théorème 2 généralisé. — Considérons V intégrale
o'do)'
étendue à tous les éléments c?co' d'une variété San — i dimensions ; soient
les coordonnées de Vêlement dco'; /■ la distance des points xt, Xn, . . . , Xn et x\, x'„, . . . ^ x\; o' une fonction quelconque des x' telle que l'intégrale
S' I dui'
soit finie.
La fonction V sera dèveloppable suivant les puissances de x pourvu que
:x'^>P\ 2.i-^<p^(^^i-Hi-ij .
La série converge encore absolument si
pourvu que l'on ait soin de grouper ensemble les termes de même degré.
Corollaire. — La fonction V est holomorphe dans tout l'espace à n dimensions sauf pour les points de la variété S.
Théorème 3 généralisé. — Considérons l'intégrale
V= / 0 flia ——j- — -1 J d;
Dans celle formule, ù', rfu' el ;• onl même signiilcalion que dans le ihéorème précédenl el l'on pose
D'i, el D';^ élanl les quantités analogues aux D„ el aux Da- définis plus haut qui sont relatives à l'élément rfto'.
La fonction V sera encore développable suivant les puissances des x si
Sa;'2>p2, Za;=
Si l'on groupe ensemble les termes de même degré, la convergence est encore absolue pour I. x- <Z p- .
CouoLL\iHE. — La fonction Y est holomorphe dans tout Vespace à n dimensions sauf pour les points de la variété S.
Le théorème 4 est également susceptible de généralisa lion ; je ne m'en occuperai pas pour le moment parce que je me réserve de revenir avec plus de détails sur ce point important. Mais j'aurai peut-être encore besoin de plusieurs propositions qui sont des conséquences des propriétés des fondions do Green relatives à une hjpersphère. Ces propriétés étant bien connues, au moins en ce qui concerne l'espace à 3 dimensions, je n'insisterai pas sur la démonstration.
Théorème 5. — Considérons V hypersphère
(I) S.f^=RS
que j'appellerai S. Soil P un point intérieur à l'hypersphère dont les coordonnées seront y,, j-o, . . . , j„ ; nous aurons
Soit P' le point conjugué de P; ses coordonnées seront
R2 Ri R2
Soit /• la distance du point j^i, x-,, . . . , x„ à P el /■' sa dislance à P' de sorte que
Lorsque le point x, , x^, . . . , .?„ est sur l'hypersphére, on a considérons alors la fonction
c'est une fonction harmonique dans tout l'espace à n dimensions, sauf aux points P et P'; elle s'annule quand le point .ri, . . . , sc„ vient sur S.
Considérons une fonction \' harmonique à l'intérieur d'une hjpersphère plus grande que S.
Considérons une hypersphére 2 de rayon £ et de centre P et le domaine D compris entre les deux hypersphères S eti; dans ce domaine les deux fonctions V et G sont harmoniques et le théorème de Green nous donne
L'intégration devant être étendue à tous les éléments des deux hypersphères S et 1, j'écris
Quand £ lend vers zéro, hi seconde inlégale / tend vers une limite finie
CV(/i, j'2, ..., jn);
C est une constante numérique, qui esl égale à « — 2 fois l'aire de l'hypersphére de rajon 1 .
Quant <à la première intégrale, comme G s'annule sur S, elle se réduit à
•dG,
J cil Ainsi V( ri. y^i • • • , v„) est égal à l'intégrale
. V cU
De même, comme la fonction /•'-""" est aussi harmonique dans tout l'espace sauf au point P, on trouverait
l8o POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
Mais d'après les ihéorèines 2 el 3 généralisés, l'intégrale du second membre est développable suivant les puissances de j' pourvu que
Dans le cas où la fonction V est harmonique dans loule portion finie de l'espace, on peut prendre R aussi grand que l'on veut. Nous arrivons donc au résultat suivant :
Si la fonction V est harmonique dans taule portion finie de V espace à n dimensions (c'est-à-dire si elle satisfait partout à l'équation de Laplace AV = G et possède partout des dérivées du second ordre, mais sans être assujettie à tendre vers zéro quand le point a"i, oc-^, ■ ■ ■ , .r„ s'éloigne indéfiniment), cette fonction V est développable suivant les puissances des x ; ce développement est toujours convergent.
Si l'on groupe ensemble les termes de même degré, chacun des groupes sera un polynôme homogène qui devra satisfaire à l'équation de Laplace; c'est-àdire ce qu'on peut appeler ua polynôme hypersphérique.
Théorème 6. — Reprenons la formule
ho.
Si R est très grand et p fini, r est de l'ordre de R et /•' de l'ordre de R-, si le point Xi, x-2, . . . . Xn est sur S.
Donc ;•■-"" el r'-~" sont de l'ordre de R'-"" etR' -". Leurs dérivées premières par rapport aux x sont respectivement de l'ordre de R'~" et R-'-'-", et leurs dérivées secondes sont respectivement de l'ordre de R-" et R--".
Les dérivées premières de r'-^" par rapport auxj' sont égales au signe près aux dérivées premières par rapport aux x, elles sont donc de l'ordre de R'-".
De même les dérivées secondes de r^-" prises par rapport à l'une des variables x el à l'une des variables y, sont égales au signe près aux dérivées secondes prises par rapport à deux variables x; elles sont donc de l'ordre de R-".
Supposons ensuite que le point P vienne en Pj et que la distance PPi soit finie ; soit Tj la dislance du point X), Xn., ..., Xn au point Pi et ;•', sa distance au point F^', conjugué de Pi ; soit pi la distance du point Pi à l'origine.
L'accroissement
dr"-—" est du même ordre que les dérivées — ; — > c'est-à-dire de l'ordre R'~"; de même
les accroissements
dx
fp. f1—n
seront du même ordre que les dérivées —, — -^ -, c'est-à-dire de l'ordre de R^".
' dxay
Si nous observons ensuite que l'on a
d¥ v^ xk d¥
df ^ Xk
dV ^^ K" d7l'
on verra que
d(r"r"— r--") dr''-'-"'i dr'p-"^ d'i f/v rfv
sont du même ordre que
d{ r f-" — r"--" ) ^r'(^-") rfr'," "' dx dx dx
c'est-à-dire respeclivement de l'ordre de
Nous avons
et nous poserons, de même
G,= ri-"-
et il viendra
^ rfG^ rf(r2-"— r?-") /RY'-2a^r'(2-") / R V'-^ «^r'/^-n) rfv rfv i^v \ P / o'^ \ pi / <^f^
Dans le second membre, le premier terme est de l'ordre de R^" et les deux derniers sont aussi de l'ordre de R^" ; donc le premier membre est de l'ordre de R-".
Cela posé, soient ^i, z^^ ...,;„ les coordonnées de P| ; nous aurons
l82 POTENTIEL ET FONCTIONS ABELIENNES.
La fonction '^-4^ — '~r est de l'ordre de R^" ; le champ d'intégration est de
Tordre de R"~' ; si la fonction V est finie, l'intégrale du second membre est infiniment petite et l'on a
Comme les deux points P et Pi sont quelconques, cela veut dire que V est une constante.
Nous arrivons donc à cette conséquence :
Une fonction harmonique dans toute po/'tion finie de Vespace et dont le module est limité se réduit à une constante.
Théouème 7. — De là on peut tirer une conséquence importante : Supposons que la fonction V soit harmonique dans toute partie finie de l'espace; qu'elle soit par conséquent susceptible d'être développée en une série toujours convergente de polynômes hypersphériques. qu'elle soit en un mot ce qu'on pourrait appeler une fonction harmonique entière.
Supposons de plus qu'elle soit n fois périodique; alors l'espace à n dimensions se trouvera subdivisé en une infinité de prismatoïdes des périodes formant un assemblage à la Bravais et à l'intérieur de ces divers prismatoïdes, la fonction reprendra les mêmes valeurs.
Son module est donc limité et elle doit se réduire à une constante; d'où cette conclusion :
Toute fonction harmonique entière n fois périodique se réduit à une constante.
C'est aussi une conséquence de ce fait bien connu qu'une fonction harmonique ne peut avoir ni maximum ni minimum.
Je renverrai d'ailleurs pour plus de détails à un Mémoire de M. Appell publié dans les Acta mathematica, t. -4.
