III. — Fonctions biharmo niques
Soit F =: \' 4- f W une fonction des n variables complexes
POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. l83
On aura alors
dV^ dW dV ^ dW
dxk " dfk ' dy'k dxk
d'où il suit que l'expression
est une différentielle exacte.
Si donc V est la partie réelle d'une fonction F, l'expression (i) sera différentielle exacte.
De là nous tirons les équations
rfa:| c(rl ' (lxkdx,j dykdy^ ' dxkdy,^ dykdxq
Toute fonction satisfaisant à ces équations (2) et d'ailleurs continue et ayant des dérivées secondes sera dite biharmonirjue. Des équations (2) on tire aisément
Ainsi toute fonction biharmonique est en même temps une fonction harmonique des 2 n variables x et y.
Si « = i, toute fonction harmonique est la partie réelle d'une fonction de variable complexe.
Mais, si « > i , il n'en est plus de même et la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction V puisse être regardée comme la partie réelle d'une fonction de variables complexes, c'est que celte fonction V soit bdiarmonique.
Les équations (2) peuvent encore se mettre sous une autre forme.
Soit
Uk= xk— iyk-,
et supposons qu'au lieu des x et dos y, on prenne pour variables les z et les u. Alors la condition pour que V soit biharmonique, c'est qu'il soit de la forme
l84 POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
de sorte que les équations (2) peuvent être remplacées par les suivantes qu'on en déduit d'ailleurs par un calcul simple
où l'indice k peut être égal à q. Ces équations sont au nombre de «'-.
Théorème 8. — • Quelle est la condition pour qu'on puisse trouver un polynôme V satisfaisant aux n- équations
ail les <I> sont des polynômes donnés.
Il est clair que les <t doivent satisfaire aux relations suivantes :
dz „, (/; k c/z m dzkduq
d^g.k ^ d%.n ^ d^y du,n duk dzçdu/cdii,,,
L'indice q peut être égal à k ou à m; mais ces deux derniers indices doivent être différents, sans quoi les relations se réduiraient à des identités.
Le nombre des relations ( 5 ) est donc n-{n — i ).
Les conditions (5) sont évidemment nécessaires, je dis qu'elles sont suffisantes.
En eflel supposons d'abord que les $ soient des polynômes homogènes de degré À par rapport aux r d'une part et homogènes de degré fx par rapport aux u d'autre part :
Alors il suffira pour satisfaire aux équations (4) de faire
l.SkU,^k.,
Il est aisé de vérifier que celte expression satisfait aux équations (4) si les conditions (5) sont remplies.
Si maintenant les <!• sont des polynômes quelconques, on n'aura qu'à les décomposer en parties homogènes tant par rapport aux z que par rapport aux u.
Ainsi pour qu'on puisse satisfaire aux équations (4) il faut et il suffit que les conditions (5) soient remplies.
dxl
POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. l85
Il est clair d'ailleurs que si l'on peut y satisfaire, on peut le faire d'une infinité de manières puisqu'on peut ajouter à V une fonction biharmonique quelconque sans que les équations (4) cessent d'avoir lieu.
Si l'on revient aux variables x et r les équations (4) deviennent
dxk dx^ dfk dy-fi '
I dx/i dy,, dxq dyk ~ '"''
les F étant des polynômes donnés en x et )•, el les conditions (5) deviennent
dPki, dF'ii^ r/F,,,^ dV',„,^
, , dx,„ «•/)-„; dxi dy/c
^ dF^j dF'^^ ^ dF,„,j dF'n,^
dy,n dx,n dyk dxk
