IV. — Potentiel d'une courbe
Considérons d'abord une courbe analytique dans l'espace ordinaire à 3 dimensions. Soient a;',, a;',, x'.^ les coordonnées d'un point de cette courbe et /• la distance de ce point au point X\, x^. x.^,. Le potentiel de cette courbe sera
• S' ds
/^ S' ds
où â' représente la densité et ds' l'élément d'arc de la courbe. Je veux étudier cette courbe el son potentiel dans le voisinage d'un de ses points O. Je prendrai ce point, que je supposerai non singulier, pour origine des coordonnées; je prendrai la tangente en ce point pour axe des X\ et le plan osculateur pour plan des a;i :r-., ; nous pourrons mettre alors les équations de la courbe sous la forme suivante :
les cp étant des séries ordonnées suivant les puissances de t et s'annulant avec t.
'il dt
De plus pour / == o, —j- ne s'annule pas, mais
~dï Ut ~ di- ~
l86 POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
Nous aurons d'ailleurs
ris' = c/t'\i{t),
']/ étant une série développée suivant les puissances de t, et je supposerai de plus que è' est également développable suivant les puissances de t. Cela posé
r-= {x\ — Xi)--+- (;r', — jTj)--»- (a;, — Xa)-
est développable suivant les puissances de t, Xi, x^ et x^. Ecrivons l'équation
et résolvons-la par rapport à t; cette équation comportera deux solutions
qui s'annulent pour x, = ^2 = j-:, = o. Ces deux solutions sont imaginaires bien entendu.
Considérons le produit {t — Oi) (' — Oo) et posons
(t — fii)(t — &.) = r-- 2\t-h7.,
Y et Z seront deux séries procédant suivant les puissances des x. De plus on aura
0 étant une série procédant suivant les puissances de t, x,, x-,, x^ et ne s'annulant pas pour
/ = Xi= X«= Xx= o.
Pour tous ces théorèmes, je renverrai au Mémoire de Weierstrass sur les fonctions de plusieurs variables (Œuvres complètes, t. II, p. i35 et suiv.) et au début de ma thèse inaugurale (Paris, Gautliier-Villars, 1879) (*). On aura donc
U étant une série développée suivant les puissances de t et des x.
(') Voir Tome I, p. XLIX-CXXIX.
Cela posé, nous allons nous proposer de mettre U sous la forme suivante : (I) u = L'o-+-*(<-Y)-+---^(<î-2Y<-+-Z),
Uo étant une série développée suivant les puissances des .r, et <I> une série développée suivant les puissances des x et de t.
Si nous mettons U sous cette forme, nous en déduirons la valeur de V, car l'intégrale indéfinie sera
Uolog[(< — Y)-i- v'^-— 2Y<-4- Z] -(-<I>v72— 2Y<-i-Z.
Si U était un polynôme, il se mettrait sous la forme (i) par un procédé bien connu. Mais U étant une série, il faut démontrer que ce procédé, toujours applicable, conduit à un résultat convergent. Posons
l'équation (i ) devient
(I') u = U„~|<I. + (Ç=-Ti)^.
Comme U est développable suivant les puissances de t et des a? et Y suivant les puissances des x; la fonction U sera développable également suivant les puissances de \ et des x.
D'autre part rj est développable suivant les puissances de x; mais nous ne nous servirons pas de cette propriété et nous traiterons r/ comme une variable indépendante.
En conséquence, dans l'équation (i') :
1° U sera une série donnée procédant suivant les puissances de ï et des x\
2" Uo sera une série inconnue procédant suivant les puissances de y) et des a^;
3° $ sera une série inconnue procédant suivant les puissances de ^, de f) et des x.
Ecrivons alors
Uo = M(l -i- T| «, H- T,' Jio -I- . . . , <I> = <I>o -H r, $, -+- 7)2 <t>.. -4- . . . .
l88 POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
Alors l'équation (i') se décompose dans la série d'équations suivantes :
Nous sommes ainsi conduits à envisager l'équation
2AmH"' étant une série donnée procédant suivant les puissances de E. On j satisfait en faisant
Mi-=Ao, <I)t=AlH ;^ H J^ 1-
On peut donc calculer les <I»/; et les m*, mais il reste à savoir si le développement converge.
Pour cela je compare l'équation (i') à la suivante :
U' est une série donnée procédant suivant les puissances de E et des x. U'„ et <I»' sont des séries inconnues procédant, la première suivant les puissances de rj et des X, la seconde suivant celles de ^, de yj et des x, et où enfin cp' est ce que devient 4»' pour ^ = o. L'équation (i"), en posant
se décompose en une série d'équations
Supposons que U' ait tous ses coefficients positifs et plus grands en
valeur absolue que ceux de U et comparons les équations (2') et (2"); soit U = SAÇ"' j;«.x»>x*», U' = I:A'Ç"' x«ix««ar«>; A'>|A|
(J), = 2 B, <;'"+■' x^' xi;' x<^', *', = S B'i 'i"'+^x'}ixfx'^',
11 viendra
Bo=-, B'„=A', Bi= B„, B', = 2B;,
ce qui montre que les B' sont positifs et que
Bk.>|B;t|.
La convergence des séries dans le cas de l'équation (1") entraîne donc la convergence dans le cas de l'équation (1'). Or on satisfera à l'équation (1") en faisant
,„ li'(s/7^) + U'(- v'^). ,., u'(v/I^)-U'(- ^/I^)
Inutile de dire que LI'(^/2rjj représente ce que devient U' quand on y change ^
en y2ri.
On voit en effet que dans ces conditions U'— U'„' — Çcp' est divisible par ^- — 20.
Ainsi nos séries convergent et U peut se mettre sous la forme (i).
Nous pouvons alors trouver la valeur de V, puisque nous avons l'intégrale indéfinie
U„ log[z — Y + sj'f^-2Yt-i~'/.] + * vV-^-2Y<-+-Z.
Nous supposerons que les deux extrémités de la courbe attirante correspondent aux valeurs ^,1 et ti du paramètre t; de sorte que les deux limites d'intégration seront l„ et ti.
Nous supposerons d'abord que ^,1 et ^1 ne sont pas nuls et que, par exemple,
En d'autres termes, nous étudierons le potentiel dans le voisinage d'un point de la courbe qui n'est pas une des extrémités.
igo POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
Dans ces conditions U„, "^(fi). •!*(<„), el les deux radicaux
V^^î — 2 Y«i-H Z, \Jtl— 2\ to+'L
sont des fonctions holomorphes des .r; il en est de même do
log[«i— Y -I- \jti—i\ti + 'l].
Car le radical est développable suivant les puissances de "\ et de Z et le logarithme ne devient pas infini pour ^ = Z = o. Il n'en est plus de même de
car si l'on fait Y i= Z = o, il reste
iog(/o-+- 4tl).
Si l'on convient de prendre la détermination positive du radical; il faudra, puisque <„ est négatif, prendre
v/îl = -<o, d'où
Au contraire,
log( — <o+ Y-+- ^tl—iXt^-^Z)
se réduit pour Y = Z^o à log( — 2t„) et n'est pas infini; c'est donc une fonction développable suivant les puissances des x. Or nous avons
log(<o-Y-h ^tl — -i\^+Z) = log(Z- Y2)-log(-/o+Y-+- v/<5- -'V/„+Z). Donc :
Théorème 9. — Le potentiel V d'une courbe attirante est égal dans le voisinage d'un point de cette courbe qui n'est ni une extrémité de la courbe, ni un point singulier ; ce potentiel, dis-Je, est égal à une fonction U,, lioloniorphe par rapport aux x, multipliée par log(Z — Y-), plus une autre fonction liolomorplie des x. D'ailleurs Z — Y'-* est aussi une fonction holomorphe des x.
Supposons maintenant /„=o; ou en d'autres termes, étudions le potentiel dans le voisinage d'une des extrémités de la courbe. Alors
sjtl — 2to\ -h L
se réduit à \J'L et n'est plus une fonction holomorphe des x. Mais Z est égal k x\^ x\ 4- x\, multiplié par une fonction holomorphe des x ne s'annulant pas avec les x.
On a d'autre pari
log(<„-Y-H v/^i-H2Z„X + /.) = log(v/^-Y).
Le potentiel est alors égal à la fonction holomorphe U,, multipliée par log(^Z — Y), plus une fonction holomorphe, plus une autre fonction holomorphe
multipliée par \ x\ + x\ + x\.
En résumé soit une courbe attirante AOB, décomposons-la en deux segments AO et OB; et prenons le point O pour origine.
Dans le voisinage du point O, le potentiel du premier segment sera
Uo log( v^Z — y) H- H + W \lx\ -H x\ + x\, et celui du second segment
U„ log ( v/Z + Y ) + H' — W \jx\ + x\-\-xl,
U„, H, H' et W étant des fonctions holomorphes; celui de la courbe entière
sera
Uolog(Z — Yî) + H + H'.
Pour bien nous rendre compte de la signification de ce résultat, cherchons
d'abord ce que c'est que la surface Z —Y- = o; l'équation
signifîe que l'équation en t
ti— 2ty -hZ = 0
a deux racines égales; or cette équation en t est équivalente à la suivante :
Supposons donc que du point Xi, x^, x, comme centre nous décrivions une sphère de rayon nul. Cette sphère coupera la courbe attirante en un certain nombre de points imaginaires; le lieu des points Xi, x-2, x.^ qui sont tels que
ig2 POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
deux de ces points imaginaires dinlersection se confondent est précisément la
surface
Celle surface esl imaginaire, mais elle présente une courbe réelle qui n'esl autre chose que la courbe attirante.
Cherchons maintenant la signification de \J^.
Notre potentiel V est égal à l'intégrale
Vdt
V7- — li Y < -H Z
La fonction sous le signe / , considérée comme fonction de t, présente un
certain nombre de points singuliers. Représentons ces points singuliers dans le plan des t ; nous ne nous occuperons que de ceux d'entre eux qui sont voisins de l'origine; ils sont au nombre de deux qui sont les racines de l'équiilion en t
Soient T et z' ces deux points :
Quand les variables x varieront, ces deux points z et t' varieront également; etquand les x auront décrit un contour fermé, ces deux points z et t' décriront des contours fermés ou s'échangeront entre eux.
Dans ce dernier cas (ou bien encore si z et z' décrivent des contours fermés, mais de telle sorte que z ail tourné autour de t') l'intégrale définie V ne reprendra pas sa valeur, mais elle augmentera d'une période.
Cette période que j'appelle II sera l'intégrale
{] dt
/-— -iZ Y -h Z
prise le long d'un contour fermé enveloppant les deux points z et t'. Or les diverses déterminations de notre intégrale définie V correspondent aux diverses déterminations du logarithme
log(Z-Y=).
Quand ce logarithme augmente de 2. in, V augmente de 2ir.\J„; on a donc
Il = '>.iT:U„.
11 serait d'ailleurs aisé de vérifier que la période II est une fonction holomorphe
des T. En elTet, le couleur fermé le long duquel celte iulégralc esl prise puul êUe choisi d'une manière quelconque pourvu qu'il enveloppe t el r'. Je le choisirai donc fixe el indépendanl des x. Comme il passe toujours à dislance
finie des deux points t et r', la fonction sous le signe / est en tous ses points, iiolomorphe par rapport à t et aux x. L'intégrale est donc une fonction liolomorphe des x. c. q. f. d.
Il faudrait pour être complet, étudier V dans le voisinage d'un point singulier de la courbe attirante, par exemple d'un point de rebroussement. Je me contenterai de la remarque suivante :
Soitp la distance du point a?), ^^i -'j ai' point singulier. Le produit Vp tend vers zéro quand le point .r,, Xa, x,., se rapproche indéfiniment du point singulier en suivant une courbe quelconque non tangente à la courbe attirante.
Revenons à notre fonction U,,, cherchons sa valeur quand les ./■ s'annulent; c'est au facteur constant près /tt l'intégrale
vV-tjC-
Si les x sont très petits, t et t' sont très voisins l'un de l'autre et de zéro et
quant t varie de t à t', t reste très petit. Alors sous le signe / la fonction U
ne prend que des valeurs très peu différentes de A, A étant la valeur de U quand t et les x s'annulent.
L'intégrale diffère donc peu de
= Ai-.
Ainsi U„ se réduit à A quand les x s'annulent. Or nous avons
■^ = \/y,{'-^y; B(t-x)(t~z') = -s:çx'-xy-.
Quand les x s'annulent, r et t' s'annulent et il reste
ig^ POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
Si l est 1res petit, on a sensiblenifiit
il reste donc On en conclut
Ainsi sur la courbe attirante, la fonction Uo n'est autre chose que la densité. Ce que nous venons de dire de l'iulé^ralc
s'applique sans aucun changement si la courbe attirante, au lieu d'être dans
l'espace ordinaire, est dans l'espace à n dimensions et si au lieu de trois
variables Xt, x^, r;,, nous en avons un nombre quelconque.
Revenons encore sur (juelques points de détail et d'abord sur la génération
de la surface
C'est l'enveloppe d'un cône isotrope (c'est-à-dire d'une sphère de rayon nul) dont le sommet décrit une courbe attirante. On voit aisément que c'est une surface développable.
Reprenons la formule donnée plus haut
ou en lire
et
V = U„log(Z- Y=)+II + II';
— =— — log(Z — Y-) -I- Uo -. 1 ;
(Ixt dxi dxi ax\ elxi
Je remarque que U,, et '^r sont des fonctions holomorphes des x et que le
second membre est égal à une fonction holomorphe des x divisée par Z — \-.
Donc V satisfait à une équation linéaire du premier ordre à second membre et à coefficients holomorphes.
Il est intéressant, au point de vue de la généralisation qui va suivre, de retrouver ce résultat par une autre voie.
Nous avons el nous en tirons aisément
Les fonctions ô''J>, /'- el
cl Xi ilX\
sont hûlouiorphes par rapport à < et aux x\, de plus le développement de ;commence par des termes du second degré, celui de ô'']; par des ternies de degré zéro; celui de M par des ti.'rmes de degré i. Nous poserons
de sorte que nos intégrales prendront la forme
C^dt dv ry\. dt
Transformons ces deux intégrales, et d'abord l'intégrale V; nous allons chercher à mettre l'intégrale indéfinie sous la forme
■\Sdt , r dt
r i\ dt . r dt j^,
P étant une fonction holomorphe de t et des x, el •I' une fonction holomorphe des X seulement.
Cela nous donne
dV dr ,
Cette équation (3) présente une grande analogie avec l'équation (i'); elle pourrait, soit se traiter de la même manière, soit s'y ramener par une transformation, je préfère suivre une autre marche.
Je développe f- suivant les puissances de t et des j", et je fais de même pour N, P et *I>; je groupe ensemble les termes de même degré et j'écris
N = N„-i- Ni H- N2 + .. .,
igC POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
La nolalion F/,, par exemple, représente un groupe de lerrnes homogène par rapporl à t el aux ,r.
L'équaliou (3) se décompose alors el nous donne
1 fit (It ■)■ lit >- lit
r// 2 (It fit 2 c/< 2 fit
La première équation nous donne <I>o; de la seconde, on en tirera P,, et <I>i. La troisième nous donnera Pi et 4>2, la quatrième P2 et <I>:,, etc. En général ces équations prendront la forme
P.— 7- H 7- P<-i-*/ + i= Htt-l,
crt 2 fit
H/, étant un polynôme connu homogène et île degré /.■ par rapporl à < et ans x. Pour résoudre celle é([unlion, posons
Les A el les B sont évidemment des polynômes homogènes j)ar rapport aux .r. Les degrés respectifs de A,„, B,„, Cj, C,, C„ sont A- — m. A + 1 — m, o, i el 2. En égalant les termes en V", on trouve
«iC; A,„i, -t- (2»i -t- 1 ) Cl A„, + («î -I- i) Ci)A„,+i = B,„.
Comme Cj est une constanle, ou fera successivement dans l'équation précédente
in = k-^-\, k, k — \, ..., 2, I,
ce qui peruietlra de calculer successivement
A<-, Aa i, ..., Ao,
qui seront des polynômes entiers par rapporl aux x.
La dernière équation, qui correspond au cas de m = o, est d'une forme un peu dillerenle, elle s'écrit
3 C, A„ + 2 C„ A 1 + <l>*+, = Bc,
elle nous donne 4»/,+i.
On peut donc mettre N sous la forme (3), la question de convergence des séries demeurant réservée.
POTENTIEL ET FONCTIONS ABELIENNES. Ii)7
Occupons-nous inainlonnnl de transformer l'intégrale
^A r M dt
Je m'appuierai sur le lemme suivant, sur lequel je me réserve de rc\enir pins loin.
Soient trois fondions holomorphes M, Ai et K^. Si M. s^annule toutes les fois que Al et Aj s'annulent à la fois {au moins dans le voisinage de l'origine), on peut trouver deux fondions holomorphes B, et Bj telles que Von ail identiquement
M = .ViB|-t- AjBo.
Considi'rons les deux fonctions holomorphes
rir I- el /• , • (It
Pour qu'elles s'annulenl à la fois, il faut que l'équalion
ail deux racines égales; c'est-à-dire que
dr
La fonction (Z — Y'-') M s'annule doue toules les fois que r- el r-y s'annulenl à la fois, de sorte qu'on peul poser
^ ' dt -'
Bi et Bo étant holomorphes; on en déduit
L'intégrale
r/p dii,\,/t
peul se traiter comme V, ce qui montre qu'elle est égale à
lyS POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.
4»' el l'' élanl holomorphes; on a donc finalemeiil
Il reste à lrait(;r la question de la convergence des séries.
Pour démontrer la convergence do la série P qui entraîne celle de toutes les autres, j'emploierai la méthode des fonctions majorantes et je comparerai l'équation (3) à l'équation
où N" est une série donnée, holomorphe en < et x et dont tous les coefficients sont positifs el plus grands en valeur absolue que ceux de N; où $" et P" sont deux séries Inconnues holomorphes, la première en a-, la seconde en t et ./', où enfin
G étant une série dont les coefficients sont positifs et égaux à la valeur absolue de ceux de r^ — Gît'-'-
L'intégration de l'équation (3') est d'ailleurs facile.
On en tire
1"'F"= Ij W rll — ^V t — <i''" ,
•l>'" étant une nouvelle série holomorphe on :r; on peut toujours choisir los doux séries inconnues "I»" et <I>'" de telle façon ((uo le second membre soit divisible par F"; ou obtiendra ensuite immédialemont P".
Gela posé, reprenons l'équation (4) cl l'équation qui donne la valeur
de / — — ; nous en tirerons
Gherchons les valeurs de •!> et <!•', et pour cela prenons l'équation
j — =*J ,.+■'•• Prenons les intégrales le long d'un contour fermé enveloppant z et r'; le
premier membre devient égal à U„ ; soit J rinléf;rale / — prise le long de ce même contour. Quant à l'intégrale
prise le long d'un contour fermé, elle est nulle; il vient donc
Uo=*J.
Nous avons vu que U„ est une fonction holomorphe des x ne s'annuinnt pas avec les x. Pour la même raison, il en est de même de J. On trouve de même, en parlant de l'équation (4)
et alors l'équation (5) peut s'écrire
ou en prenant les intégrales entre les limites t„ et ti
<— ("•ê-vt)-,
0 étant une fonction holomorphe des x. c. q. f. d.
