PROPRIÉTÉ DES FONCTIONS ANALYTIQUES

licndiconti del Cirrolo mateinatico di /'alerino, t. 2, p. 197-200 (188s). (lixtrait d'une lellre adressée à M. G.-B. Glccia, le 27 octobre 1888.)

La leclure de la Note de M. Vivaiiti dans un des derniers numéros des Rendiconli m'n vivement intéressé et m"a inspiré diverses réflexions qu'il ne sera peut-être pas inutile de mettre sous les veux de vos lecteurs.

D'après M. Vivanli, une fonction multiforme est de la «'"™" puissance, si l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre pour une valeur donnée de la variable, est lui-même de la n"""" puissance, au sens de M. Cantor. En particulier, elle sera de la première puissance si elle peut prendre en un point donné une infinité do valeurs susceptibles d'être rangées en une série linéaire

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de façon que chacune d'elles se trouve dans celle série une fois, et une seule, avec un indice déterminé; si. eu d'aulres termes, on peut assigner à chacune de ces valeurs un numéro d'ordre. Au contraire une fonction qui pourrait prendre en un point donné, par exemple, toutes les valeurs possibles commensurables ou non, ou encore toutes les valeurs incommensurables, serait de la deuxième puissance.

Je me propose d'établir qu'il n'y a pas dr fonction analytique multiforme d'une puissance supérieure à la première. Mais pour cela il faut bien s'entendre sur ce qu'on doit appeler fonction analytique.

J'adopterai la définition de M. Weierstrass.

Un élément de fonction analytique sera une série do puissances convergente à l'intérieur d'un certain cercle. Deux éléments de fonctions seront la conti-