V. — Généralisation

Je me propose d'étendre les résultats précédents au cas d'une variété attirante à 7t — 2 dimensions dans l'espace à n dimensions, la loi d'attraction étant en raison inverse de la puissance n — i des distances.

Soit f la variété attirante, O un point de cette variété dans le voisinage duquel nous voulons étudier le potentiel. Nous supposerons que ce n'est pas un point singulier et nous le prendrons pour origine.

Les équations de la variété c prendront la forme suivante :

x'k= ?/((<l, '"., ■ ■■, tn-i) (k = 1, 2, ..., n),

les (»/c étant holomophes et s annulant avec les (. L'expression

est développahlft en série procédant siiivanl les puissances des t et, des /, le développement commence par des termes du second degré; je pourrai toujours choisir les variables auxiliaires t de telle façon que, quand les x s'annulent, les leruies du second degré de ;'^ se réduisent à

Cela posé, le potentiel cherché sera représenté par l'intégrale /i — 2'''''

N désigne une fonction holomorphe des t et des x et j'ai désigné pour ahréger par du le produit

L'intégrale V n'est pas une fonction iiolomorphe des t et des ,r parce que /■ s'annule avec les t et les t, c'est-à-dire dans le champ d'intégration. \ ojons d'un peu plus près en quoi consiste cette singularité.

Représentons dans l'espace à. 2 n — 4 dimensions les parties réelles et imaginaires des n — 2 variables complexes l,, t-,, . . ., l„-i-

L'intégrale V est une intégrale n — 2'''" étendue aux éléments d'une certaine variété w k n — 2 dimensions située dans cet espace k in — 4 dimensions.

Celte variété est d'ailleurs plane; soit, en edet,

tk= i<i-+- v'— ' "A-

Comme dans l'inti-grale V, nous ne donnons aux t que des valeurs réelles, nous aurons

C'est là l'équation de notre variété (V. Mais cette variété n'est pas indéfinie, elle est liuiilée par une variété an — 3 dimensions que j'appellerai >. et qui aura pour équations

l'<=0, /(Ul, u«, ..., (<„-•") = 0.

Pour achever de définir la variété w, il faut donc adjoindre aux équations (^/;= o, rinégnlilé/> o.

La variété /. est ainsi le bord de la variété iv.

Le point

'1 = <•> = ... = in-i = o

n'appartient d'ailleurs pas à À; car nous n'avons pas supposé que le point O se trouvait sur le bord de la variété attirante c.

D'après un ihéoréme connu, généralisation de celui de Cauclij \<'f- Mémoire sur les rcsidus des inlégrales doubles ( Acta innlhematica., '•'')] ( ' )' l'intégrale ne changera pas f[uand on la prendra le long d'une autre variété iv', ayant même bord que iv, |iourvu qu'on puisse passer d'une manière contuiue de H' à w' sans rencontrer de point singulirr.

Quand le point x^, x-<, . . ., x„ décrira certains contours fermés, il faudra déformer la variété w d'une manière continue de telle façon que sur celle variélé ne se trouve jamais aucun point singulier; quand le contour fermé aura (Hé complètement décrit; il pourra se faire que la variété w ne revienne pas à sa forme primitive, et se soit changée en une autre variété n'.

L'intégrale V se sera alors changée en V + U,,, Uo étant une période de

l'intégrale (n — 2)1''"

rîUh J /•"--■

Pour aller plus loin, nous allons appliquer la même méthode que dans le cas de l'espace ordinaire.

Nous allons chercher à mettre N sous la foruie

où <I> est une fonction holomorphe des x et les P/,(A==i, 2, ..., « — 2) des fondions holomorphes des x et des /.

Celte équation équivaut en effet à

Décomposons les séries N, P/,, <1>, 7''- en groupes de termes homogènes tant par rapport aux t que par rapport aux x. Soient

Nli.v, Px-.ji.v, 'l'a. F|j..,

les groupes de termes de

N, Pa, *, r%

qui sont de degré y. par l'apport aux x et degré v par rapport aux t.

(') Voir Tome III, p. 440-48,).

Nous allons calculer les groupes inconnus P/,.jj..., dans l'ordre suivant : on commencera par les termes où p.+ v est le plus petit et l'on rangera les groupes dans l'ordre des p. + v croissants; les groupes correspondant à une même valeur de p. + v seront rangés dans l'ordre des p. croissants.

Nous aurons donc en posant pour abréger

l'X:.(j..v= lU-,

en nous rappelant que

et en désignant par M un ensemble de termes déjà calculés, homogènes de degré p- par rapport aux x et de degré v + i par rapport aux t, nous aurons donc, dis-je [en égalant dans ( i ) les termes de même degré]

(3) M = Sr^ 2^ -("-'') -"<'*■

Nous poserons ^ - r = Z. et d'autre part, on peut poser et cela d'une infinité

de manières

Nous chercherons donc à faire

Aa=/*Z-(«-4)iu.,

d'où l'on tire aisément

en tenant coni|Uo de

car Z est homogène de degré v — i par rapport aux l.

Nos équations nous donneront donc Z et les II/,.

En égalant dans l'équation (3) les termes de degré p par rapport aux j; cl zéro par rapport aux <, on a une équation qui donne <I>^.

Il reslerait à traiter la question de la convergence des séries; comme les théorèmes que je démontre dans ce paragraphe et dans le précédent ne sont pas indispensables pour mon sujet principal, je ne veux pas trop m'y attarder et je me bornerai à indiquer la marche générale de la démonstration.

Il est d'abord facile de mettre /•- = F sous la forme suivante :

POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. 2o3

OÙ «/, est une série développée suivant les puissances de t et des x, commençant

par des termes du premier degré, et dont les termes du premier degré se

réduisent à tk quand les r s'annulent; où z est une série développée suivant les

puissances des x et commençant par des termes du second degré.

Gela posé, l'intégrale

, • N f/l^i/l.. . .lit,,-.

devient

' N A rlui du« . . . diiii—i

OÙ A est le jacohlen dos t par rapport aux u\ ce jacobieu étant une fonction holomorphe des l et des ,r, et aussi des u et des j", nous vo^'ons que nous pouvons toujours supposer que l'on a

car les u peuvent jouer le même rôle que les t. Supposons donc

Notre équation devient alors

Notre fonction N peut se développer en une série absolument convergente de la forme

N = 2YpP,

où (5 est un entier pair et où ^ est un polynôme homogène de degré a par rapport aux t et satisfaisant à l'équation

7 —, — = Al = «,

jLu dV- '

et où enfin l'on a posé

Cherchons à satisfaire à la fois aux éfpiations

dV

Vr'J:=o, v,p=__^Yp°.

2o4 POTENTIEL ET FONCTIONS ABELIENNES.

Pour cela faisons

où a el b sont des coelTicients qu'il s'agit de déterminer. Pour cela on trouve les deux équations

fla -t- 6 = -,

II—

a 7l[j -t- b {oL -h [j -i- n — 4 ) = "dont le déterminant ne s'annule que pour

a = o ou a -t- « — 4 = "■

Comme n est plus grand que 4i cette seconde hypothèse ne peut se réaliser, mais nous devons exclure le cas de a ^ o.

Appelons donc No l'ensemble des termes de N pour lesquels a sera nul, de sorte que N„ sera fonction de p- seulement et résolvons l'équation

(4') c^r^z)^"^ -(n-.\) zar) = ?<-?<,■

cela pourra se faire en prenant

P = So^û?^ Sfcn'pP-= dt ' '^

(les termes où a est nul étant exclus); comme les coefficients ael b sont limites, la série est convergente.

Il faut maintenant trouver des séries P* satisfaisant à l'équation

Nous poserons

Q étant une fonction de p'-; l'équation devient

ou bien

f/ r Qp"-^ "I (N„— 'i')p"-^

L'cquallon est tout à fail semblable à celle qui a élé Uailée dans le paragraphe précédent et pourrait se traiter de la même manière.

On pourrait dire aussi : nous déterminerons <P à l'aide de l'équalion

les intégrales étant prises le li3ug d'un contour fermé entourant les deux points

Si dans ces intégrales on pose

et qu'on prenne les intégrales sui\ant un contour entourant les deux points p'= dr i, l'intégrale du second memlire sera une constante; dans celle du premier

membre la fonclion sous le signe / sera une fonction holomorphe des x et de \l z\ <t devra donc être une fonction holomorphe des j" et de \J z\ et j'ajouterai des x et de -; car <I> ne change pas quand ^ z se change en — y/s.

Si 4* est une fonction holomorphe, il est clair qu'il en est de même de Q.

On pourrait aussi ramener nos intégrales par des intégrations par parties aux cas simples n = 3 ou /i ;= 4-

Pour résumer celle longue discussion, l'intégrale V peut toujours être mise sous la forme

Considérons maintenant l'intégrale

flM rMch

ou

est une fonction holomorphe des t et des x. Considérons les équations

/ r N ., dr dr dr

dl^ du ' ' ' dt„-i

2o6 POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.

el éliminons les t enlre ces équations dont les premiers membres sonl holomorphes en t el en x] nous obtiendrons une certaine équation

dont le premier membre sera holomorphe par rapport aux x. En appliquant le même lemme que dans le paragraphe précédent, nous pourrons écrire

A et les B étant liolomorphes en t et en x\ car H s'annule toutes les fois que les équations (5) sont satisfaites.

Ce lemme est bien connu, et d'ailleurs, en ce qui concerne son application actuelle, il suffit pour lui donner une évidence immédiate, de rappeler que nous avons vu qu'on peut toujours supposer

d où

'•5^='^' " = =• Cela posé notre intégrale devient

La première intégrale du second membre se traitera comme / -;;37 et l'on

trouvera finalement l'équation suivante analogue à (2) ainsi qu'à l'éijuiition (4) du paragraphe jirécédenl

Nous n'avons plus qu'à continuer le raisonnement comme dans le paragraphe précédent.

Dans l'équation (2) comme dans l'équation (^), le premier terme du second membre est nul si l'intégrale est prise le long d'une variété fermée; elle est une fonction holomorphe des x dans le cas contraire.

Prenons d'abord les intégrales le long de la variété fermée qui correspond à

la période U,, dont nous avons parlé plus haut, les équations (2) el(7) nous

donneront

Uo=1>J,

J iHaiil la périoLliî île l'Inlugrale / "t;;— ; ' laquelle période est une fonction luilo-

inorphe des x ne s'annulant pas avec les x.

On tirera alors dos équations (2) 01(7) (en prenant les intégrales dans les limites qui conviennent à V)

"(^■S-^'Sf)-..

0i étant uue fonction holomorplie dos x et l'on trouverait de même

dXn d-l-n I

ces équations peuvent s'écrire encore

^\dxs -(- B-idxi-

ay

H Lui

expression

U 5 dXk

devra être une différentielle exacte, ce qui entraîne l'identité

0 = (A.— \,.)-7-^ -; 1-(A, — Ao) I

dxi dx2 ' dx\dx«

\dxi dx\ dx\ dx-i) \dx-i dx\

Celle équation nous montre d'abord que pour H -= o, on a A, ^ Ao et de même

Comme les A/, sont arbitraires pourvu qu'ils se réduisent à t^:-, — pour H = o,

Uj dxi- ' '

nous pourrons supposer que tous les A/, sont égaux et supprimer l'indice k; notre équation devient alors en divisant par H

dK^ (l\\ dS^ (m „ I dV„ d\W dx\ dx« dxa dx\

ce qui montre que Ion peut regarder A comme une constante; car si l'on a H = G, dll = G, il vient c/A = g. 11 vient alors

rf ^ jj j = A rf log H -+- Bi rfr, ■+- n. ,lx. -I- ...-,- B„ dx,,.

Comme il est aisé de vérifier que les B ne peuvent èlre que des fondions liolomorphes des a", nous déduirons

V = AL„logII -t- fonction hnlnniorphe des .r.

il nous reste à voir quelle est la signilicatioii de cette variété H = o, qui joue un grand rôle dans l'analyse précédente. L'i'quation

est l'équation d'une variété are — i dimensions que j'appelle K et qu'on peut assimiler à un cône ayant son sommet en un point P de la variété attirante c. La variété K est le lieu des points dont la dislance à P est nulle; elle est donc imaginaire et n'a d'autre point réel que le point P lui-même.

Quand le point P se déplace sur la variété c, la variété K se déplace également et son enveloppe s'obtient en éliminiinl les / entre les équations (5); c'est donc la variété an — i dimensions

II =o.

Cette variété est donc imaginaire et n'a d'autres points réels que ceux de c. Considérons une fonction holomorphe F de n variables compleies

;, = .r, -I- (ki, :.. = x-i-h iVi, ..., z„ = x„-h ifn

et considérons les œ et les y comme les coordonnées d'un point dans l'espace à 2 « dimensions.

L'équation F = o se décompose en deux autres obtenues en égalant à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de F; elle définit ainsi une variété à 2 « — 2 dimensions que j'appelle v.

Nous verrons plus loin que la fonction

log|F|

est égale au potentiel de la variété alliranle v plus une fonction iiojomorplie des X et des y.

Nous devrons donc avoir

Iog|F| = U„logH-H<I>,

U„, H et $ étant des fonctions liolomorphes des x et des y.

L'équation |F|=o doit donc coïncider avec l'équation H = o. L'équalion I F I = o représente une variété k in — i dimensions qui est imaginaire et dont les seuls points réels sont les points de la variété à in — 2 dimensions v.

Vérifions donc que la variété | F| = o est bien l'enveloppe des variétés r- =■ o.

Observons d'abord que, si nous laissons de côté les points singuliers, nous

pouvons écrire

où /est une fonction holomorphe de 5,, Cj. .... s,,-» et où «l» est une fonction holoinorphe de c,, z-., .... z„ qui ne s'annule pas dans le voisinage du point considéré.

Soit

de sorte que/, et/2 sont des fonctious holomorphes de

Xi, .l'i, x-i, fi, ..., x„i, rii—\',

les coefficients des développements de ces fonctions holomorpiies étant réels. La variété à 2 « — 2 dimensions p- a pour équations

et la variété imaginaire à 2 « — i dimensions ] F ] =: o a pour équations

(8) (xn-/i)-^iLrn-A) = "-

Cela posé, soit x\, x',, . . . , x'„, r\, /.,, ■ ■ -, /„ un point de (', la variété correspondante r- = o a pour équation

( 9 ) ^(-rt- x'i, y-^Z (Vk - r't )-=o.

Il faut chercber l'enveloppe de cette variété, en faisant varier

X \, X-2J • ■ • : Xfi i ,

et en même temps x'„ el}''„, puisque l'on a

y'n = A ( ^'l : y\ ' ■■■■ x'„-\, fn-l )■

On trouve ainsi par la différentiation de (9)

dx^ dXk , ,

dx' dV (k = i,2,...,n-i).

{yk - y'k ) - ( ^„ - ^;, ) ^ + ( r„ -/„ ) |:f = o

A cause des relations

dx'k dy-'k' dfk . dx'k il vient

(dx' dy' \ 5;^ - '■ ^ ) [(•^« - -c^ ) -I- « (y', - }■'„ )l = o,

et en combinant avec (9)

(xi — x\)^ l'vic — yt) = {x„ — x'„) + i(y„ — y',.) = 0. On a donc

Xn ■+- iVii = x'„ -+- iy'^ = / ( x\ + iy\ , x'.^ ■+■ iy'.^ , . . . , x'„ , + y '„ . , ) . Or

a^x + iy'k = Xk-^ ivk- Donc

x„-^ iyn = f{xi-^iyy, Xi+ iy-i, j„,+ y'„i),

de sorte qu'on retrouve l'équation (8).