V-log|P
esl dans tout le domaine G une fonction holomorplie et liarnionique des x el des y.
4" La fonction logj P | esl biharmonique. Si donc je représente par
DV
l'une des expressions
«f-'V f/-\' rt'-'V ,/-\ ,1-, V <P\
<lxl dyl dxkd.J-,i 'lyk'ly.i 'Ixk'ly,! i/yk'/j-„
on aura
Dlogl PI =0.
Or V — log| P I est une fonclion lioloinorphe el harmonique; donc
D(V-log|P|)
sera aussi une fonclion holoinorplie et harmonique, puisque
AD(V — logl P|)= DA(V — log|P|) = o;
Cl puisque
Dlogl P| = o,
nous arrivons à celle conclusion que
DV est une fonction holomorphe et harmonique dans tout Vespace.
5" Qu'arrive-t-il quand les quantités ;,, r,, ..., Za augmcnienl d'une période ?
Soit ai, flî, . . . , rt„ une période de telle façon que la fonction F ne change pas quand ^i, z-.,, .... s,, se changent en
Te représenterai par
V(si-i-«,), Vx(:,-i-«,), SA-(2,-i-«i)
ce que deviennent V, V^ et S/,, c'est-à-dire ^ (c,), Va(-,), S/ (.;,■) quand on change Zj en ;;+«,■; nous aurons alors
V(3,-i- Oi) = i:|Vx(;,-f- ai) — Sa-(3,-+- «i)J, V(3,-) = i;[Vx-(s,-)-Sx-(z,-)].
Quand z[ se ciiangera en z[ +«,, le prismaloïde R/, se changera en un autre prisinatoïde R/, ; et comme la distance des points ^j-f- a, et z'^ -+- a, est égale à celle des points zi et ;,' , nous aurons
V<-(;,) = V/,(Zi-+- «,).
D'aulre pari nous pouvons remplacer l'équation
V(5,-H ai) = }:[\/c(Zi-hai) — Si(:i-+- <7,)J.
par la suivanle
V( ;, -1- fl; ) = 1 [ V/, ( ;,■ -I- «,) - Sa ( =,■ -f- Oi )].
Les deux séries ne diffèrenl en effet que par l'ordre des lerines; la première s'étend aux prisniatoïdes R/,, c'est-à-dire à tous les prisniatoïdes; la seconde aux prisniatoïdes R/,, c'est-à-dire aussi à tous les prismatoïdes. Je puis écrire également
\(zi-+- «,) = i:[V*(=i)- S/,(;,+ ai)], et par conséquent
V(3,--i-«0-V(:,) = S[Sa.(;,)-S/,(=,-h«,)]-
Tous les termes du second membre sont des polynTmies du second degré par rapport aux x et aux y.
Donc quand les 3 augmentent d'une période, \ augmente d'un polynôme qui est au plus du second degré.
Etudions les termes du second degré et cherchons par exemple le coefficient
de ^1 •
Dans S/,(-,) ce coefficient est égal à l'intégrale :
l'intégration est étendue à tous les éléments d<ji' de la partie de G qui est intérieure à R*; j'appelle J/j cette intégrale.
Dans S/, ( 5,- -1- a,- ) , le coefficient sera la même intégrale étendue à tous les éléments f/oj' de la partie de G intérieure à R/, ; c'est donc J/,.
Donc le coefficient cherché dans V(s,-|-a,) — V(;;,) est la somme de la série
Z{h-ih).
Je dis que cette série est absolument convergente et a pour somme zéro. Elle est absolument convergente parce que son terme général est de l'ordre de
c'est-à-dire du même ordre que le terme général de la série i(Vi — S,s') qui est convergente.
Pour évaluer la somme, groupons les termes d'une façon particulière.
Soit R<=R'„ un prismaloïde quelconque, R/,= R', ce que devient R/, quand
on change z'. en z\-\-ai; soit plus généralement R^, ce que devient Pu r= R', quand on change z\ en z\ + «a,, n étant un entier positif ou négatif. Les prismaloïdes
..., w-, , HL,, R'„, R'n Ro, .... r;„ ..■
formeront ce que j'appellerai un groupe de prismatoïdes. Tout piisiiialnïde appartiendra à l'un de ces groupes et à un seul.
Nous aurons ainsi réparti en groupes les prismatoïdes et par conséqueni les termes de la série.
Il me suflit de montrer que la somme des termes d'un groupe est nulle.
En effet, soit J|, l'intégrale qui sera à R'„ ce que J* est à R*. Notre groupe de termes s'écrira
La somme des termes sera
en nous arrêtant au ;i'"""^ terme dans un sens et au/)"''"'^ dans l'autre. Quand n et p croîtront indéfiniment, Jl„ et J^,^, tendront vers zéro.
Donc la somme cherchée est nulle. c. q. f. n.
Donc le coefficient de -- est nul et l'on démontrerait de même que les autres
termes du second degré sont nuls également.
Donc la différence Y {zi-\- ai) — V(sj) est un polynôme du premier degré seulement.
Donc quand les z augmentent d'une période, la fonction V augmente d'un polynôme du premier degré par rapport aux x et aux y.
On démontrerait de même :
i" Que l'intégrale
/'= fu,/io'
étendue à tous les éléments de la variété C est finie.
2" One la fonction \ ' est harmonique dans tout l'espace sauf sur la variéti' C.
3" Que la difTérence
