IX. — Introduction des fonctions

Nous venons de voir que les expressions Ti\ sont des fonctions liolomorphes el harmoniques dans tout l'espace.

D'autre pari, nous avons trouvé

V(i:,-i-«,)-V(:,-) = n, n étant un polynùme du premier degré; on a donc

DV(c,-i- a,) — DV(;,)= DU = o ou

DV(;;,+ «,) = DV(s,),

ce qui montre que les DV sont des fonctions périodiques.

[^es DV^ étant des fonctions à la fois harmoniques et périodiques se réduiseiil à des constantes (théorème 7).

.le dis inaintenanl que l'on peut toujours trouver un polvnôme Z du second degré par rapport aux x et aux y et tel que les expressions DZ se réduisent à des constantes données.

Ce théorème peut encore s'énoncer d'une autre manière.

Reprenons les notations du paragraphe 111 et posons

Xk -t- iyk = ^i, x/! — iy/c = un.

.le dis qu'on peut toujours trouver un polynôme Z du second degré par rapport aux z et aux u et tel que les n- quantités

soient égales à /t- constantes données h.^,^.

L'idenlité des deux énoncés est manifeste et d'ailleurs le second énoncé est immédiatement évident puisqu'on n'a qu'à prendre

Il résulte de là que nous pourrons toujours trouver un polynôme Z tel que les expressions DZ soient égales aux constantes DV. Ou aura donc

c'est-à-dire que la fonction V — Z est blliannoniquc dans tout l'espace sauf sur C.

D'autre pari log| V | étant biharmonique, on a

D(V — Z — logl l'i) = o,

et comme V — Z — log|P| est holomorphe et harmonique à l'intérieur de G, même sur C, nous pouvons conclure que