V-Z-loglP

est holomorphe et biharmonique à l'intéiicur de G, même sur C. Enfin V — Z augmente d'un polynôme du premier degré par rapport aux x cl aux )•, quand les z augmenlenl d'une période.

Les équations

nous apprennent que l'expression

est une dilTérenlielie exacte. Posons donc

djc/.

L'intégrale prise le long d'un contour fermé est nulle si ce contour ne tourne pas autour de C; elle n'est pas nulle en général, si le contour tourne autour deC.

Donc T est une fonction uniforme dans tout domaine simplement connexe ne contenant aucun jioint de G. Mais ce n'est plus une fonction uniforme dans un domaine traversé par G.

24o POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.

Considérons de mcnK! la foncùon

c'est également une fonction uniforme dans tout domaine simplement connexe

non traversé par C; et une fonction non uniforme dans un domaine traversé

par C.

La différence

r -^ r '/i V — Z — loï I P ' ) , r/( V — Z — lojr 1 P I ) , 1 T a,gP=y 2L TÛT^ ''■'' 17, ^^''"'J

est une fonction uniforme dans tout le domaine G, quoique ce domaine soit traversé par C; cl en effet V — Z — log | P | est biliarmonique dans tout le domaine G.

La fonction

a pour partie réelle