V-Z-loi,':P

el pour partie imaginaire

T — arirP.

C'est donc une fonction des n variables complexes

et de plus celte fonction est holomorjilie dans Imil le domaine G. Posous ensuite

il viendra

e = Pe?,

P et 9 étant des fonctions liolomorphes des n variables complexes ^ dans le domaine G, il en sera de même de 0 cl comme tout point de l'espace fait partie d'un domaine tel que G :

La foiiclion 0 esl une fonction des n variables complexes z holomorphe dans tout Vespace.

Nous avons trouvé plus haut

POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. 2/i I

n élaut uu polynôme du premier degré. D'auirc part Z élanl un [)()lyuôme du second degré, on aura

Z(s,-+ <(i\ — Z{Zi) = il,

il étant un polynôme du [iremier degré; il vient alors

di II — o )

= =ciinst.)

et de même

Les dérivées de T(;,+ «,) — 1 (-^1) étant d(>s constantes, on aura

'Pi ;,-f- (I,) '- T( c, 1 = >r.

•r étant encore uu polynôme du [)remier degré, .l'écris enfin

V(3/..-f- «/, I— Z( ;/;. + «/. ) — /Ti ;/ -I- '(/. 1 — V( :■/, I -J- Z(z/,)~iT(:/.) = U,

U étant un polynôme du premier degré par rapport aux x et aux r. Comme

V( ;<•-+- cu-,1 — Z( 3/1 — 'U) -H jT(3;t-f- «<-)

sont des fon( lions des n variables ( omplexes :, il en sera de même de U.

Donc U est un polynôme du premier degré par rapport aux n variables complexes z et Von aura

(I) e(;i+«,) = e(;ijeU.

Cette propriété rappelle la propriété fondamentale des fonctions 0 et il est aisé de voir comment les fonctions qui satisfont à la condition (1) se ramènent aux fonctions 0 ordinaires; je renverrai pour plus do détails à mon Mémoire sur les fonctions a l)éliennes insévè danfiV t merican Jour nal of Mat/iemnlics {*).

On démontrerait de même :

i" rjue les DV sont des constanles;

(') Voir ce Tome J\', p. ,iiS.