PROPRIÉTÉ DES FONCTIONS ANALYTIQUES

nuation analytique l'un de l'autre, ou, plus bricvenicnl. seront déri\és l'un de l'autre quand les deux cercles de convergence ont une partie commune et que dans cette partie commune les deux séries ont même somme.

Pour construire une fonction analytique, nous partirons d'un élément de fonclion F,, convergent dans un certain cercle Co- Nous construirons ensuite les divers éléments de fonction F, dérivés de F„; puis les éléments F2 dérivés des divers éléments F,; puis les éléments F;, dérivés de F.>, et ainsi de suite.

L'ensemble des éléments F,, celui des éléments Fa, etc. sont de la deuxième puissance. Mais il n'est pas nécessaire d'envisager tous ces éléments pour obtenir toutes les déterminations de la fonction.

J'appellerai V\ ceux des éléments F,- dont le cercle de convergente C- aura pour centre un point ayant ses deux coordonnées commensurables.

Il est aisé de vérifier que l'ensemble des éléments F', est de la première puissance (et qu'il en est de même de l'ensemble des éléments F-^, dérivés d'un éléineal 1", donné).

On voit aussi sans peine que tout point intérieur à l'un des cercles de convergence Ci de l'un des éléments F, sera aussi intérieur à l'un des cercles de convergence C, de l'un des éléments F',.

Tout cercle ayant une partie commune avec l'un des cercles C| aura aussi une partie commune avec un des cercles C, . Donc, tout élément dérivé de l'un des éléments F, sera aussi dérivé de l'un des cléments F',. Les divers cléments F'^ sont donc dérivés des divers éléments F', ; de même les éléments F', seront dérivés des éléments F'„, etc.

La considération des éléments F',, F'„, F',, etc. suffit pour obtenir toutes les déterminations de la fonction. Soit en elTel AMB un chemin quelconque allant de la valeur initiale A de la variable à la valeur finale H. Il existera un nombre Jini d'éléments F„, F,, \\, . . . F„ ayant pour cercles de convergence C„, C,, C:;, . . . , C„ cl tels que F.v, soit dérivé de F,, que le point A soit intérieur à C„ et le point B à G„ et que l'arc AMB traverse successivement le cercle Co, la partie commune à Co et Ci, le cercle C,, la partie commune à Ci et Cj, etc., sans jamais sortir de l'ensemble des n + i cercles C,,, C|, . . . , C„. Ce n'est qu'à cette condition que la fonction aura une valeur déterminée au point B quand on sera arrivé en ce point par le chemin AMH.

Nous pourrons alors remplacer F», Fi, ..., F„, par n + \ éléments F,,, F',, . . ., F'„ qui en diffèrent assez peu pour que l'arc AMB ne sorte pas de l'ensemble des n 4- 1 nouveaux cercles de convergence Co, C',, . . . , C'„.

PROPRIÉTÉ DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l3

La considéraliou de ces élémunLs F] suffit donc pour faire connaître la valeur qu'acquiert la fonction quand on a parcouru le cliemiu AMB.

L'ensemble des élénienls F',, F,, . . ., F^, elc. est de la première puissance.

En ell'et, l'ensemble des élémenls F',, dérlvi^s de Fo, est de la première puissance; donc on peut attribuer à chacun d'eux un nunu^ro d'ordre ci. L'ensemble des éléments F!,, dérivés de celui des éléments F', qui a pour numéro d'ordre a,, sera encore de la première puissance, donc on peut donner à chacun d'eux un numéro d'ordre a^, el ainsi de suite.

En résumé, un élément F^^ sera défini par n numéros d'ordre

2i, ao, ..., a„.

De sorte que l'ensemble des éléments F',, F',, .... F',^, etc. aura même puissance que l'ensemble des fractions continues limitées

ou que l'ensemble des nombres commensurables, lequel est comme on sait de la première puissance. c. y. f. n.

Il suit de là que l'ensemble des déterminations d'une fonction analytique en un point donné est toujours, au plus, de la première puissance.

Il n'existe donc pas, par exemple, de fonction analytique qui prenne en un point donné toutes les valeurs possibles commensurables ou non.

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 95, p. 33-2G (3 juillet 1S82).

On sait que la découverle des facteurs primaires a jeté une lumière toute nouvelle sur la théorie des transcendantes entières, et a permis de les classer en un certain nombre de genres. D'après cette classification, une fonction du

genre zéro est celle dont tous les facteurs primaires sont de la forme i — !

et une fonction de genre /; est celle dont tous les facteurs primaires sont de la

forme e'''''( 1 — ' )> P(a?) étant un polynôme de degré n.

A l'égard de ces transcendantes entières, de genre n, je suis arrivé aux résultais suivants :