I. — Énoncé du problème

On sait que Li lliéorie des louctions analytiques d'une seule variable est inliinomenL liée à celle de Li représenlaliou conforme, et cpudle clarté celle considération de la représentation confoniK! a jetée sur les propriétés fondaiiienlales des fonctions. Dans ces conditions, j'ai été tenté de rechercher s'il n'y aurait pas quelque chose d'analogue en ce qui concerne les fonctions de deux variables. Je n'ai obtenu, bien entendu, que des résultats partiels et fragmentaires, mais avant de les exposer, je voudrais rappeler en quelques mois les propositions fondamentales bien connues relatives aux fonctions d'une varial)le.

On peut se proposer deux problèmes distincts :

Soit Z = X + < Y une fonction analytique de z =z x -\- iy- Soit dans le plan des 3 un arc de courbe l et sur cet arc un point m; soit dans le plan des Z un autre arc de courbe L et sur cet arc un point M. Est-il possible de déterminer la fonction analytique Z, de telle façon qu'elle soit régulière dans le voisinage du poini m: que Z soit au point M quand ; est au point m el (jue Z dé( rive la courbe L quand ; décrit la courbe /? Gela c'est le prohlrim- local-, et l'on sait (ju'il comporte une infinité de solutions.

Soit maintenant dans le plan des z une courbe ferince l limitanl un certain domaine d; soil dans le plan des Z une courbe fermée L limitant un domaine D.

Esl-il possible de délerininer la ionclion analytique /,, de telle faeon qu'elle soit régulière dans le domaine d, que Z parcoure la ligne L (ou le domaine D) quand ; parcourt la ligne /(ou le domaine f/) ? Cela c'est \q problème étendu: el le principe de Diriclilet nous apprend qu'il coinporle une solution el une seule.

On peut se poser deux proljléines analogues en ce ([ui concerne les fonctions de deux variables. Soient Z = X+ t V et Z'= X'+ jY' deux fonctions analytiques des deux variables complexes ; = .r + iy et -'= x' + ir'. Nous pouvons envisager l'espace à quatre dimensions des zz' et celui des ZZ'.

Soit alors dans l'espace zz' une portion de surface à .3 dimensions s el sur cette surface un point m. Soit dans l'espace des ZZ' une portion de surface à .j dimensions S et sur cette surface un point M. Est-il possible de déterminer les fonctions Z et Z' de telle façon qu'elles soient régulières dans le voisinage du point m, que le point ZZ' soit en M quand le point zz' est en m el qu'il décrive S quand le point zz' décrit s ? C'est le problème local.

Soit maintenant dans l'espace des ;;' une surface fermée à 3 dimensions s liiuitanl un domaine à 4 dimensions d. Soit dans l'espace ZZ' une surface fermée à 3 dimensions S limitant un domaine D. Est-il possible de déterminer les fonilions Z et Z' de telle façon qu'elles soient régulières dans le domaine d, que le point ZZ' parcoure .S ou D quand le point zz' parcourt s ou c?? C'est le problèm.e élendu.

Dans le cas où ce problème étendu est susceptible dune solution, on ne saurait dire, sans un abus de langage, que cette solution nous lournil la représentation conforme de d sur D. Ce molde représentation conforme suppose en elTet la conservation des angles. Nous dirons donc simplement que nous obtenons ainsi la représentation régulière de c? sur D.

Une première remarque, presque évidente, c'est que le problème local ne comporte pas toujoiirs une solution. En effet les fonctions X, Y, X', ^ ' doi\ent satisfaire aux équations différentielles

d\ d\ ^ __'IX

'/.c il y ffv dx

et à trois autres svstèmes analogues que Ion déduit de (i ) en accentuant, soit les lettres X et Y, soit les lettres x et y. soit les quatre lettres à la fois. Ces quatre systèmes réunis forment un système (i 6/.?). Soient alors

les équations des surfaces s et S. Supposons alors que le point :z' reste sur lu surface s et exprimons tout en fonction àev, x\ i '.

Désignons par des i) ronds les dérivées partielles prises par rapport à ces trois variables, x étant liée à ces trois variables par l'équation de la surface X =^ 'J. Continuons à désigner par des d ordinaires les dérivées par rajiport aux quatre variables supposées indépendantes. Nous aurons alors

^ '' àv dy dx dy^

pluiî onze autres équations que l'on déduira de (2) en changeant >• en x' ou en y' \ ou bien X, en Y, \' ou \' . L'enseiiilile de ces douze équations formera le svstème (2 his^.

Si alors entre les huit équations (i bis^ et les douze équations (2 his) on

élimine les dérivées partielles —-, -j-i etc., il restera quatre équations linéaires

entre les douze dérivées partielles -p? etc.; c'est ce que nous appellerons le

système (3).

D'autre part, si le point ZZ' reste sur la surface S dont l'équation est X ^ <I>,

on aura

ô\ d'l> ()\ d<P d\' d'l> f)\' ^'^ jy ~ dS' J^ ~^ Trv TT ^ dv ,jy '

avec deux autres équations déduites de (4) en changeanl y en i' ou 1' et qui

avec (4) formeront le svstème (4 bis). On remplacera dans le svstème ( 3 ) les

trois dérivées

,ri ,i\ <A

<7?' ,17' ih'

par leurs valeurs donni'es par le syslémi' (4 bis) et il restera quatre équations entre les trois fonctions inconnues \, X', V et leurs dérivées partielles par rapport aux variables indépendantes y, x'. y'. On aurait donc à trouver /roi.s fonctions inconnues satisfaisant à qualri' é(|uations difierenlielles, ce qui en général est impossible.