II. ■ — Principes de la classification des surfaces

A ce point de vue, les surfaces s peuvent se répariii- t'u plusieurs classes. 11 peut arriver qu'aucune transformation ne transforme s en elle-même. Je m'explique; les transformations que je vais envisager sont celles qui changent

le point X, y\ x' . y' dans le poiiil \, \ . X', \' de U'ile fiieon (jue X + i\ et X'+ i\' soient {"onctions anah tifjiies de x + iy ut ^'+ iy' .

Ce sont les transfornialidns que j'ai eii\isagées dans le paragraphe précédent, ce sont les seules que, sauf avis contraire, j'envisagerai désormais.

Qu'arrive-t-il alors si aucune transformation de cette forme ne transforme s en elle-même? Il en résulte évidemment que si le />/'o/>/ème /oca/ comporte une solution, il n'en comporte certainement qu'une. Car si deux transformations T et Ti changeaient s en S, la transformation inverse T7' changerait S en .s, de sorte que la comi)inaison TT7' changerait la surface .î en elle-même.

Nous verrons plus loin comment on peut dans ce cas reconnaître si le problème local comporte une solution par des calculs qui peuvent èlre longs mais qui restent élémentaires.

Si au contraire il existe des transformations qui changent s en elle-même, le problème local ne saurait comporter une solution sans en comporter |>lusieurs.

Nous sommes ainsi conduits à étudier les Iransformations des surfaces s en elles-mêmes et à fonder sur ces transformations et les groupes qu'elles forment une classification de ces surfaces.

Nous nous attacherons surtout aux groupes continus formés de semblables transformations.

Soit s une surface quelconque; soit (î le groupe de i'. c'est-à-dire le groupe des transfonnalions fpii n'allèrent pas s; soil .s' une autre surface, soit (î' le groupe de s'.

Soient

les diverses subslitulicms de G. Si le groupe G' est le transformé de G par une transformation (J i[uelconque, c'est-à-dire si les diverses transformations de G' sont

U-iTiU, U-'T, U

nous dirons que G et G', ou bien encore que i' et s' apparlieiuicnl à la même classe.

Pour que le prolilème local soit possible, il est évidemment nécessaire que s et S appartiennent à la même classe et par conséquent que leurs groupes soient isomorphes.