III. — Classification des groupes

Je ne ferai pour le momenl intervenir dans la classification des surfaces s que les transformations infinitésimales de ces surfaces en elles-mêmes; de sorte que nous avons à rechercher les tjroupes continus G qui n'altèrent pas ces surfaces, et parmi ces groupes continus nous sommes d'abord amenés à distinguer les groupes continus y?«« et les groupes continus infinis.

Envisageons d'abord les groupes continus finis. Leurs subslilulions doivent, comme nous l'avons dit, être de la forme suivante :

[:, c', co, s'„; ./'( 5, z' ), /\z, z' ), /„(;o, z'„), /'„{zo, z'„)],

où ; et z' sont les variables complexes .r + i )■ et x'-+- t )', ou .;„ et :■'„ sont leurs imaginaires conjuguées x — iy et x' — i)', où /(:■, :•'), /'{:■■ -') sont des fonctions analytiques de ; et de ;', et oùy'„(3u, ;'„)./"„(:„, z\^) sont imaginaires conjuguées de /"(;, .:'), f'{z, z'). .Si nous considérons le groupe formé parles substitutions

en nous abstenant momentanément de considérer .s,, et ;'„, ce groupe est un groupe continu fini à deux variables.

Or on sait former tous les groupes conlinus iiiiis à deux variables; les méthodes de Lie permettent de le faire. Je me bornerai à renvoyer à Lie luimême (') ou bien à Campbell (-).

On verra que ces groupes se ramènent à vingt-sept types dont les principaux sont le groupe linéaire général à deux variables et ses sous-groupes, le groupe des substitutions linéaires à une variable portant séparément sur ; et sur z\ le groupe

{q, xq, ..., X' q, yq, />, x/i, x'- p -i- rxyq)

et leurs sous-groupes.

Toutefois ces groupes ne sont pas ainsi mis encore sous la forme qui nous

(') Soi'HUS Lie, Théorie de/- Transformationsgrnpi>eii, III. Absclinitt, Alillieilunf; 1 et 2 (Leipzig, Teubner, i8;|.3).

(-) V.wun^Ei.x., Introductory Trcatise on I.ii:',v l'heorie of Fiiiile Continuons Transformalion (Jroiips (Oxford, (Uarendon l'ress, i(|o3).

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. REPRÉSENTATION CONFORME. •2.'l9

convienl. En ell'el dans la lliéorie géuérale des groupes, on considère un groupe d'ordre r comme dérivé de /' substitutions infinitésimales

et alors toutes les lriuisforiii;ilions inliuilésiiiialcs du groupe sonl di' la forme

où les coefficients a,, z.j, . . . , 2, sonl réeh ou imaginaires.

Au contraire, dans des recherches comme celle-ci, il convienl de définir un groupe dérivé de /' subslitulions infinitésimales

celui dont toutes les transformations infinilésimales sont de la lorme

les coejjicienls 7. ùlanl tous réels.

Soit, pour prendre un exemple simple, le groupe dont toutes les transformations infinitésimales sont

.,, df , , .,„, df

a, 3, a'. ^' étant quatre constantes réelles.

Au point de vue ordinaire, ce groupe est d'ordre •?. et dérive des deux substitutions fondamentales

df df

dy 7n-

Au point de vue nouveau, il est d"ordre \ et dérive des quatre substilulions

fondamentales

df . df df . df

//z dz dz <lz

Pour bien faire comprendre ce qu'il y a à faire, j'opérerai sur le groupe linéaire général. Ce groupe dérive des huit substitutions fondamentales suivantes

/.,, • - I- I df ,lf\

M cens partout^ et/i au lieu ue y^j -—-, I :

A = /^, A' = // : n = zp, fî' = ;'// : C = z p. C = c/»' ;

D = z{zp -^ z'p'). D'= z'(zp-^ z' p).

25o FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. REPRÉSENTATION CONFORME.

avec les t'-quations de structure

( A, B ) = .\. ( y, ir I = A'. I V, C ) = A'. I A'. C 1 = A.

(A, D 1 = 2B— l!', ( A', D') = 2lî'-(- ]!. (A, ri'i = (;. ( A , D i = C,

Au point de vue nouveau, nous devons regarder le groupe comme d'ordre i6 et comme dérivé des i6 subslilutions

A, A', B, B', C, C, D, D', /A. /A'. /B. iB'. iC, iC, /!>, /D',

Quant aux nouvelles équations de structure, elles se déduiront aisément des anciennes; ainsi l'équation

nous donnera

(A,lî)=A, (i\.V,) = i\. (A./"B) = ('A. ii\.iB)=—A.

I.e groupe linéaire ('tant ainsi envisage comme d'ordre 16 et ses équations de structure étant formées, on aura à rechercher tous ses sous-groupes; on sait qu'il y a des méthodes générales pour les former.

Je citerai seuleinenl quelques exemples; nous pouvons preudie le groupe dérivé des huit substitutions

en e'''\. ei'i'W I!. B', e'ifi-f'n, p'if)'-Oi(;', ,.--0 0, e-'"' D',

où 0 el 0' S(jnl (h'S angles réels quelconques, ou bien encore