ur.--jLC\ Ma'C -aC'i. i\',. i\V, A -t- a D

^ ^ ( nA— aD), A'-+-aI-). £( A'— a'D'),

où a el a' sont des constantes quelconques, réelles ou complexes.

Quand on suppose en particulier 0 = 0', le grou]ie(i) se réduit au grouperez/

(3) A, A', B. ir. C. C. D. If:

quand on suppose a =; a'^ — i , le groupe (2) se réduit au groupe

(4) C — C. î(C-i-C'i. (B. /B'. A — D. /i A -t- D I. A'- D', i{A'-hD') qui est celui des transformations qui n'altèrent pa-- l'Iiypersphère

On peut se demandei' si ces groupes peuvent toujours se ramener aux groupes réels étudiés par Lie {loc. cit.. 111. Absclinill, p. 36o et suiv.). Nous remarquerons d'abord que lous les groupes (i) sont isomorj>hes cl se ramèneni au groupe réel (S) par un changement de variables, en posant

De même, tous les groupes (2) sont isomorphes cl se ramèneni au groupe (4) par un changement de variables, en posant

S= — Xîi, .3'= — 7.' z-\.

Mais il n'y a pas moyen de ramener par un changement de variables analogues le groupe (4) au groupe (3). Le problème que nous nous proposons ici est donc plus général que celui qui a été résolu par Lie dans le Chapitre cité. Mais il présente avec lui une grande parenté et il peut être résolu par des procédés analogues sur lesquels nous n'insisterons pas ici.

Supposons donc que Ton ait formé par ces moyens un gioupe g d'ordre r, dont loiiles les transformations sont de la forme

f el /" étant analytiques, el dont d'antre pari chaque transformation finie est une puissance réelle d'une transformation inlînilé^imale, tandis que chaque Iransforiuatiou iniinilésimale est une coinliinaison linéaire à coefficieuls réels de /■ tran>foriiiali()us fondamentales.

Les considérations qui précédent permettent de former lous les groupes g qui satisfont à ces conditions; quand on connaîtra l'un de ces groupes g on formera immédiatement le groupe G correspondant qui a pour transformations

Mais il n'est pas encore certain qu'à ce groupe G corresponde une classe de surfaces s el c'est ce qu'il nous reste à examiner.

Si le groupe G est d'ordre 1, il existe un système de lignes à une dimension qui sont inaltérées par le groupe, cl qui sont définies par des équations difTérentielles. Toute surface à 3 dimensions engendrée par ces lignes est inaltérée par le groupe; de sorte qu'à ce groupe G correspondront une infinité de surfaces s dépendant d'une fonction arbitraire de deux variables.

Si le groupe G est d'ordre 2, il existe un système de surfaces à 2 dimensions

qui sont inaltérées par le groupe et qui sont définies par des équations difl'érenlielles. Toute surface à 3 dimensions enyendiée par ces surfaces à 2 dimensions est inaltérée par le groupe; de sorte qu'à ce groupe G correspondront une infinité de surfaces s dépendant d'une fonction arbitraire d'une seule variable.

Si le groupe G est d'ordre o, il existe un système de surfaces à 3 dimensions qui sont inaltérées par le groupe et qui sont définies par des équations difTérenlielles. A ce groupe G correspondent donc une infinité de surfaces \ dépendant d'une constante arbitraire.

Si donc le groupe est d'ordre 3 au plus, il y a toujours une classe correspondante de surface i'. Qu"urrive-t-il mainleiiani >i le i;rou|)e est d'ordre plus

élevé? Soient

les transformations infinitésimales du groupe; on aura

dz^^'dz-^"'dr„^^'"-dF::

où \< et X',, sont des fonctions de :; et ;', tandis que Xu/, et X|,j sont les fonctions imaginaires conjuguées de ^0 et r'„.

Si f est le premier membre de l'équation de la surface s, la fonction J doit satisfaire à l'équation aux d(''rivées partielles

sinon identiquement du moins pour/= o.

Formons donc un déterminant de quatre lignes

/i prenant (juutre des /■ valeurs i, 2, .... /■. l'iiisieurs cas peuvent se piésentei' :

1" Ou bien tous les déterminants ainsi formés s'annulent identiquement; alors le groupe G n'est pas transitif, il existe une infinité de surfaces *■, définies par des équations dilTérentielles et dépendant d'une constante arbitraire, et qui ne sont pas altérées par le groupe.

C'est ce fjui arrive par exemple pour le groupe dérivé de

i'B = ;/'— Zapa.

JB'= z'p'— z%p'„,

G — C = z' p — zp' -f- z'^pn — Zap\,. (■( C — C) = z'p -+- zp'— :■'„/)„— Zap'„.

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. REPRESENTATION CONFORME. 2d3

J'ai écrit p. p„. etc.. nii lieu de ; • -7^ • elc. Le groupe étant d'ordre :J. on n'a (lu'un seul délorminaiit

qui esi identiquement nul, et l'on voit en ellet que les surCaces

=G„- zz„=W.

où Iv est une consLanle arbiliiure, ne sont pas altérées par le groupe.

2" Ou l)ien tous les déterminant? ne s'annulent pas identiquement; mais ils s'annulent tous à la fois quand on a

J^'c'qualion (.')) déliait alors une surface à .i dimensions. Cela nécessite quelques explications. Le premier membre de l'équation (.5) est complexe, de sorte qu'il semblerait que celte équation équivaut à deux équations réelles entre x^ y, x , y' qui d('liniraienl une surface à 2 dimensions. Les équations do celle surface à 2 dimensions devraient alors s'écrire

( j bis)

( F(;. s', z„, z'„} = o, ( Fu(3o, ^'o. ;• :■') = «■

F|, étant ce que devient I" quand on change i en — i dans ses coefficients.

Mais on doit observer que X,,/, et X,,, sont imaginaires conjugués de X/,el X](.. Donc quand on changera /, ;, :;', ^„, z'^ en — i, ;„< ^,,1 ^j ^\ il arrivera que X/, el X,,/, s'échangeront de même que X](. el X'^^. el les délerminanls ne changeront pas. On aura donc

de sorte que les deux équations (5 bis) ne sont pas distinctes et définissent par conséquent une surface à 3 dimensions.

S'il existe une surface s inaltérée par le groupe, ce ne pourra être que la surface (.')): je dis maintenant que celle surface (o) n'est ellectivemeni pas altérée par le groupe. Soil eu etlet T une iransformation quclcourpie du groupe ; alors les substitutions inlinilésimales

seront les Iransformées par T des suliblitiilions (i)iiiJainentales A/, du groupe.

Si l'on forme lia délcrniinanl A avec quatre suhsliliilions A/, comme on vient de l'expliquer, puis qu'on l'orme de la même manière nu déterminant A' avec les quatre substitutions T^'A/T, ce délerminant A' sera le transformé de A par la transformation T.

F est par définition le plus grand commun diviseur des d(''lerniinants A; de même le plus grand commun diviseur des déterminants A' sera le transformé de F par T.

Mais comme T fait partie du groupe, les substitutions T~'xVxT sont des combinaisons linéaires à coefficients constants des A/; les déterminants A' seront donc aussi des combinaisons linéaires des A; le plus grand commun diviseur des A' sera donc égal à celui des A à un facteur constant prés. Donc F se reproduit à un facteur constant prés quand on lui applique la transformation T. Donc la surface (5) n'est pas altérée par celte transformation.

C'est ce qui arrive par exemple pour le groupe (^4) où les fonctions qui jouent le rôle de X<., etc., sont :

jB'

— -So

— zz'

i--'ii

zz'

— i — zl

-Il -d

— zz'

zz

Zd -0

En formant les déterminants A on voit qu'ils ont pour plus grand commun diviseur

Le groupe n'altère donc pas l'hypersphère

-u-i- - -Il

?i" Ou bien les déterminants A sont premiers entie eux. Dans ce cas il n y a pas de sui-face s inaltérée par le groupe (1.

C'est ce qui arrive pour le groupe (3); nous voyons en elTet que deux de nos

déteniiinanls A (obtenus respecliveinenl avec les subslltulions A, A', B, C ou A, A', B', C) s'ccriveiiL

Zo

: : - :-'oy-,

et nont uiicnu coinimiii diviseur; les déterminants ne peuvent s'annuler à la fois que si l'un a

ce qui définit une surface à 2 et non pas à 3 dimensions.

Je terminerai en citant un exemple d'une classe de surfaces s où le groupe G est continu d'ordre infini. Soit en eflet la surface

Cette surface est évidemment inaltérée par le groupe

[s, s', Go, s'o ; 9( 3), /(;, z), o(3o), ./ii(-o, =0)],

où o est une fonction réelle arbitraire, f et/,, deux fonctions complexes arbi- Iraires, imaginaires conjuguées l'une de l'autre.

Définition des invariants.

Proposons-nous le problème suivant, analogue au problème local. Soit s une surface quelconque et m un point sur cette surface; soit .S une autre surface et M un point sur celte surface. I^eut-on trouver une transformation qui change s en .S', S' ayant avec S au point M un contact du n"'™'^ ordre?

Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer que m et M sont à l'origine des coordonnées. Nous mettrons alors l'équation de la surface S sous In forme

cl nous supposerons F développé suivant les puissances de X, Y, X', Y'; nous avons besoin, pour notre objet, de connaître ce développement jusqu'aux termes du n"'^"' ordre inclusivemrnl, ce qui suppose

\)( Il

coefficients aibliraires. que nous appellerons les coefficients A; mais nous pouvons aussi, sans restreindre la généralité, supposer que F est de la forme

et il ne reste plus alors que

coefficients arbitraires réels que nous appellerons les coefficients A'. L'équation de la surface .v pourra se mettre sous la forme

(2) a:=-:^)iu. r. u-i. )=ç.i(«. i\ iri. a:'=ç:;tii, i'. ir). ^■'=z■,(ll, r, ii'i,

'yi. (a-2, cp:i, 9, étant quatre fondions réelles déveioppables suivant les puissances de trois paramétres ;/, r, tv. nous avons besoin de ce dcveloppemeni jusqu'aux termes du n'""" ordre inclusivement, ce qui suppose 4N' coefficients arbitraires r(''els que nous appellerons les coefficients B.

Ici encore ce nombre peut être réduit; car nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer

|- = u. x' = 1', r' = ir,

et il ne reste plus alors que N' coefficicnis arbitraires réels que j'appellerai les coefficients B'.

Enfin, les équations de la transformation peuvent s'écrire'

■h et l/, «'tanl deux fonctions analytiques complexes déveioppables suivant les puissances de ; et de :■' : nous avons besoin des termes juscpiau /("''"'' ordre, ce qui fait

coefficients arbitraires complexes, ou, ce qui revient au même,

coefficients arldiraiii's r(''ols que nfius appellerons les coefficients C.

Cela posé, nous pouvons dans les équations (3) séparer les parties réelles et imaginaires, ce qui nous donne

('\) X = 91, V = i.,, \'= in. V= ?,,

les ti étant des fonctions développées suivant les puissances de x, )', x' , y' .

Si dans les ôqualions (4) on remplace x, y, x\ y' par leurs valeurs (2), on aura X, Y, X', Y' en fonclions de w, r, ir, sous la forme

(5) X = 0|(K, i', ir I. ^ = 0.;i H. r. IV I. \' =().;(«, v. Il' ), V'= 0.,(m, r, (!'),

et ce seront les équations de la surl'ace S'.

Pour exprimer que S el S' ont un contact du n''"'" ordre, substituons dans Y, à la place de X. Y, X', \' leurs valeurs (5); nous aurons F développé suivant les puissances de u, r, w : c'est ce que nous appellerons le développement (6). La condition à exprimer c'est que tous les termes de ce développement, jusqu'au 7^"""' ordre inclusivement, sont nuls. Comme les termes de degré zéro sont nuls d'eux mêmes, cela fait N' coefficients qui doivent s'annuler. Et ces coefficients sont égaux à des polynômes entiers par rapport aux .V, aux B et aux C et d'ailleurs linéaires et homogènes par rapport aux A.

Nous avons donc N' équations à satisfaire. Si nous considérons les A et les B (^c'est-à-dire les deux surfaces s et S) comme donnes et les C (c'est-à-dire la transformation) comme inconnus, nous avons iN" inconnues. Pour /i < q, nous

avons

c'est-à-dire plus d'inconnues que d'équations. Pour « =i; 9 nous avons

c'est-à-dire plus d'équations que d'inconnues.

Le problème serait donc toujours jiossible pour n <^ g et généralement impossible pour ri-^g; mais il convient d'examiner la chose de plus près. Supposons que l'on élimine les C entre les N' relations, combien restera-t-il de relations distinctes entre les A et les B? Pour nous en rendre compte, nous allons procéder par difTérentiation. -Supposons que l'on ait écrit les équations (i) et (2) sous la forme particulière où les A et B se réduisent aux A' et aux B'; ce qui, comme nous l'avons vu, ne restreint par la généralité. Nos relations seront satisfaites quand les deux surfaces * et S seront identiques et que la transformation se réduira à la transformation identique; c'est-à-dire quand chaque A' sera égal au B' correspondant, f|iiand chaque C se réduira à la valeur C„ (C„ étant égal suivant les cas à o ou à 1) qui correspond à la substiliilion identique. Donnons ensuite aux A' et aux C des accroissements inlliiiuieut petits, de telle sorte que l'on ail

a; = n; -+- sa; , c = c„-f- se.

En différenliant nos IN' équations, nous obliendrous A' relations linéaires entre les N' dilférentielles ô.V et les iN" différentielles oC. Ces relations sont toutes distinctes, et en effet chacune d'elles ne contiendra que l'une des dillerenlielles ôA', et cela avec le coelfîcient i. Par exemple, celle d'entre elles que l'on obtiendra en égalant à zéro le cot'ficient de u-{.'w du développement (6) ne contiendra que le oA' du coefficient de Y'X' V dans le développement (i).

Eliminons maintenant l'un des oCl, que nous appellerons oCi. Celte différentielle figurera dans l'une au iiioins de nos relations, sans quoi on pourrait satisfaire à nos lelations en annulant tous les dA! et sans annuler tous les oC; supposons donc que ôCi figure dans la relation qui contient oA', ; alors en retranchant cette relation de chacune des antres après l'avoir multipliée par un coefficient convenable, on i''liminera oCi et il restera N' — i équations linéaires; elles seront toutes distinctes, car chacun des ôA' autres que oA', figurera dans une de ces équations et dans une seule.

En y faisant âA', = o, nous aurons des équations de même forme sur lesquelles nous pourrons opérer comme sur les précédentes, en éliminant ôCo et réduisant d'une unité le nombre des relations, à moins que l'on ne puisse j satisfaire en annulant tous les ôA', sans annuler tous les oC, et iiinsi de suite.

On voit ainsi que le nombre cherché des relations distinctes est égal à

P étant le nombre de manières de satisfaire aus équations données en annulant tous les oA' sans annuler tous les oC.

Or toute solution de ces équations, où oA'=o, et où par conséquent la surface S ne change pas, correspond à une transformation infinitésimale qui change S en elle-même, ou tout au moins en une surface présentant avec S un contact d'ordre n au point M.

Donc P n'est autre chose que l'ordre de ce groupe. Il ne faudrait pas croire que P est l'ordre du groupe G défini plus haut. En effet nous ne devons prendre [jaruii les substitutions du groupe que celles qui conservent lo point M, ce qui réduit déjà l'ordre de trois unités. D'autre part, supposons par exemple que le point M soit l'origine, et que nous considérions un polynôme du rt"™" ordre en X, y, x\ y', s'annulant à l'origine (c'est-à-dire en 1\I); ce polynôme sera transformé en une série ordonnée suivant les puissances de x. r, x' . y' . et s'annulant à l'origine; si dans cette série les termes d'ordre n et d'ordre plus petit sont identiques au polynôiue primitif, Va transformation correspondante

sera une de celles que Lie appelle clans son Chapitre ^8 une transfurinalion d'ordre n-|-i. Au point de vue qui nous occupe, elle correspondra à des ôC nuls et devra être regardée comme une transformation identique. De ce fait encore l'ordre se trouve réduit. Ainsi P n'est pas égal a l'ordre /■ de G, mais c'est l'ordre du groupe formé par celles des transformations de G qui conservent rorigine M et qui sont au plus de l'ordre ii au sens de Lie. On voit que pour n très grand, P se réduit à /■ — .'i.

Quoi qu'il en soit, le nombre de nos relations distinctes entre les A' et les B' est

Ces relations expriment que les deux surfaces S et 5 peuvent être transformées de façon à être amenées à avoir un contact d'ordi'e n. Si s est donnée, il faut que les coefficients de S satisfassent à N' — N"+P conditions, c'est-à-dire que N' — N"+ P fonctions de ces coefficients, que nous appellerons les invariants du Ti"""' ordre de noire surface S, aient des valeurs convenables; je n'insiste pas sur les détails de la démonstration qui devrait être conduite comme dans tous les cas analogues.

Nous arrivons donc à la règle suivante qui nous fait voir l'importance de ces invariants : pour que deux surfaces s et S puissent être transformées l'une de l'autre^ il faut qu'aux points correspondants tous les inrariants de tous les ordres des deux surfaces aient même valeur.