V. — Etude de quelques cas simples

Supposons d'abord que le groupe G se réduise à la substitution idenlitjue, c'est-à-dire que j et S ne soient inaltérées par aucune translorumllon; nous savons que si le problème local admet une solution, il n'en admet qu'une. Considérons un système quelconque d'invariants, trois au moins; soit /h, un point de s. Pour savoir quel est le point M, de S qui peut correspondre à m,, il faut chercher quel est le point de S qui a même invariants que m,. Lo |)oinl Ml est déterminé par cette condition; de sorte que nous savons quel est le point de S qui peut correspondre à chacun des points de s; il reste à vérifier si la correspondance ainsi définie entre les points des deux surface.--, définit une transformation de la forme cherchée.

Supposons maintenant que le groupe Cj soit d'ordre i ; les points de S (|ul

26o FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. REPRÉSENTATION CONFORME.

ont mêmes invariants que in^ sont alors en nombre infini, ils forment une ligne sur S; si d'ailleurs la transformation de * en S est possible, elle l'est d'une infinité de manières, de sorte que n'importe quel point Mi de la ligne L peut correspondre à rrii. Considérant donc un point m^ quelconque de .y, et la ligne L correspondante de S, nous choisirons ar6/7/«/reme/U sur cette ligne le point Mj qui doit correspondre à m, ; la transformation, si elle existe, sera alors entièrement déterminée; comment verrons-nous alors quel est le point INK qui doit correspondre à un autre point m-i de 5? Supposons d'abord que les points m, et «i-j soient infiniment voisins; il doit en rtre de même pour Mi et M-i. Si les points Toi et Mi sont donnés, la transformation, si elle existe, est entièrement déterminée, on peut développer Z — Zj et Z' — Z', suivant les puissances de .5 — Zi et z' — z\ (en supposant que l'on a Z = Zi, Z'= Z', au point Mi et ;; = ri, 3'= 3', au point ln^) et il est facile de calculer les premiers coefficients du développement en fonctions des coordonnées des points nu et I\J|. Connaissant ces premiers coefficients nous saurons comment la grandeur et la direction du vecteur infiniment petit MilVL dépend de celles du vecteur nii/ii-,; le point inn étant donné, nous en déduirons donc le point Mj.

Si maintenant Wi et nii ne sont pas infiniment voisins, joignons nii à w.i par une ligne quelconque située sur s; il s'agit de déterminer la ligne correspondante sur S. Pour cela considérons un segment mm' de la ligne m,m^ et le segment correspondant ]MM' de la ligne MiMo. Soient x, y, x' , y' les coordonnées de m; X, Y, X', V celles de M; so\Qn\. x -{- dx , y -\- dy , x' -\- dj;' , y'+dy celles de ml; X-f-rfX, ^ + d\ , X'+dX.', \'-{-d\' celles de M'. D'après ce qui précède, nous avons une relation entre

X, )■, x', }■', \, V \'. ^ ' ; dx, f/f, t/x', dy , ir/X, d\ , d\' , //\ '

et si la ligne mim^ est donnée de faron que x, y, x', y\ dx, '/y, dx\ dy puissent être regardées comme des fonctions coiuiuos d'un paramétre unique l et de sa différentielle <•/<, cette relation nous fournira une équation dilTérenlielle entre

/, .\, 'l, \, ^ . -^, -^j, -jj-, -^,

qui déterminera les fonctions inconnues \, Y, X', Y' en fonction de / et par conséquent la ligne M) M:..

On opérerail d';iprés les mêmes principes si le groupe G était d'ordre plus grand que i. Nous examinerons plus loin avec plus de détails le cas du groupe (4) du paragraphe III.

Quelques mots encore au sujet de l'exemple cité plus haut, et où le groupe G est d'ordre infini. Supposons que la surface S se réduise au plan

A quelles conditions doit satisfaiie la surface s pour que le prohlème local puisse être résolu ? En tous les points de .s, on a X = o.

Soit F(x, j', x', j') ^= 0 l'équation de la surface s; on aura, en difl'érentiant, cette équation

(l) -;— (tX H r- f/y H ^-7 dx H T-, CIV = O.

rix dy ■' dx dy ■

Mais comme celle équation de la surface i- peut également s'écrire X:=o, nous aurons

d\ , d\ ^ tlX , , d\ , , -r- dx + -7- dy + -,—; dx H — ^, dy = o. dx dy dx dy '

Les quatre dérivées de X sont donc proportionnelles aux quatre dérivées de F, non pour tous les points de l'espace, mais pour tous les points de s. Cela posé, considérons les équations

X = o. V = "\ 0 (^'0 étant une constante).

Elles définiront une surface à a dimensions que j'appellerai ^(Yo) et qui sera tout entière sur s; je me propose de foimer l'équation dill'érentielle de ces surfaces (t(\o). Nous aurons

~j— dx — -r- tir -+- -j—, dx — -, dy = o.

dx i/v ■ dx dy

bien

ou sur s

dX , dX , f/X , , dX , ,

-r- dx ;— dy n — ;— , dx t-, dy = o,

«)' dx - dy dx •

. rfF , r/F , dF , , d¥ , ,

(2 -;— dx -j- dy -h -;-; dx ;-7 c/V = O.

dy dx • dy dx '

Nous avons ainsi Irois équations entre .2, y. .r' . y' el leurs difi'érentielles. Ce seul les deux équations diOerentielles (i) el (2) et l'équation F = o. Entre ces trois équations éliminons y' et dy', il restera une équation difl'érentielle

( 3 ) Irfx^ T| r/l- M- I' '/x' = o,

OÙ ^, ï), 'c,' sont des fonctions connues de x, y, a.'.

L'équation (3) doit satisfaire à une condition d'intégrahilité, facile à former. Si cette condition n'est pas satisfaite, le problème local ne peut pas être résolu. Si au contraire elle est satisfaite, je dis qu'on aura une solution de ce problème. En effet, dés que réquation (3) sera intégrée, on aura la valeur de X et celle de Y en tous les points de la surface s. Donnons à x' et à )' des valeurs quelconques x'^ elj'u j nous aurons alors la valeur de la fonction

en tous les points de la ligne l, intersection de la surface s avec le plan à 2 dimensions

X = Xqj y = Yq.

Or quand on connaît une fonction analylique d'une variable le long d'une

ligne, on la connaît dans tout le plan. Aous connaîtrons donc la fonction Z pour

toutes les valeurs de z, quand ou aura z' ^ x\ + iy\^, mais comme x\, et >•',, ont

des valeurs arbitraires quelconques, nous connaîtrons Z pour toutes les valeurs

de :; et de z' . Nous savons que Z est fonction analytique de z, c'est-à-dire que

l'on a

en supposant Z exprimé en fonction de z ^ x -\- iy, de z^^ x — < r, de :;' et de ;'„. Cette é(|ualion a lieu en tous les points de l'espace, el nous en déduisons

dzu </z'„

ce qui nous apprend que -j^ est fonction analylique de z. Il reste à montrei que Z est fjiiclion analytique de ;', ce qui s'expriiuerait par la relation

La fonclion \-\-i\ étant définie par l'équation (3), nous avirons, non pas dans tout Vespace. mais en tous les poiuls de s :

'£L - B^ -i- G — (Ix dx dy

d\ ^ dV ^ dV

dv dy dx

,l\ dV ./F

-7-; = li -r-7 + '- -7-T ' fix dx dy

d\ „ dF dF

-j—: = " -7—' ~^ ^ ~ï~' ' d\ dy dx

dx

dx

dX

.dF

dy

dy

dx'

= A -^ , dx

rfX

dy'

dy

A, B, G étant des fonctions indéterminées.

dZ

dl~,

Mais l'équation j^ = o équivaut à

dx dy dy dx

OU

d'où

(A + C)-+ li-^=o,

ou, puisque A, B ei G sont essentiellement réels,

d'où

ce qui équivaut à

r/X rfY d\ __ d\

dx' dy' dy' dx'

dZ ^="'

équation qui est ainsi satisfaite en tous les points de s. Or nous avons vu que '-T^ est une fonction analytique de ;, et celte fonction étant nulle en tous les points de s devra cire identiquement nulle. De sorte que r(''quation -y^f, = o devra être satisfaite dans tout l'espace. c. q. k. d.

On peut remarquer que l'équation (3) admet une infinité de solutions et que Y peut être remplacé par une fonction arbitraire réelle quelconque de Y.

7&i FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. REPRÉSENTATION CONFORME.

Dans ces condilions, Z se trouve rempLicé par une fonclion arbitraire réelle quelconque de Z. Quant à la seconde fonction Z':=X'+A', elle peut évidemment, dans le cas qui nous occupe, être tout à fait quelconque.