VI. — Le problème mixte

Nous allons introduire un problème nouveau que nous appellerons le problème mixte parce qu'il tient pour ainsi dire le milieu entre le problème local et le problème étendu.

Supposons que les surfaces .ç et S ne présentent pas de point singulier.

Supposons que le problème local puisse être résolu dans le voisinage de chacun des points m de la surface s. Si alors

est l'équation de la surface s et

<I>(Z, Z', Z„, Z'„) = o celle de la surface S, on peut trouver des fonctions

analytiques dans le voisinage du point m, et telle que l'on ait identiquement dans le voisinage de ce point m :

(2) <!>[/( 3, z)./'(z, s'), Mz.o. Z',). /;,(;„. ;;, ,] = =(;, z-', ;„. z'„)-H=, :■' , ^o, s'o ),

<\i étant une fonction analytique de z. z' , z^, z\ dans le voisinage du point m. Nous devrons supposer de plus que le déterminant fonctionnel

— 'El "'''' 'IL

ne s'annule pas au point m, sans quoi, en résolvant les équations (i) on ne trouverait pas pour .3 et z! des fonctions analytiques de Z et de Z'. Il s'ensuit que la fonction ■]/, qui est finie et analytique au point //;, ne s'annule pas au point //(.

Les fonctions /, /', 'h dépendant du point m, nous mettrons re fait en évidence en posant

f{z,z') = 'l.{m): f'{z,z.) = Z'(m); /„(;:„, c'„ )= Zo(/« ); /'„(z„, ;'„ ) = Z'„(»! ),

et en écrivant '\'{r>r. z, z', z^, z'„), ou simplement '^{m), au lieu de ■]>(;, z', s,,, ;'„). Nous retenons donc que la fonction 'i('«) est finie, analytique et différente de zéro dans le voisinage de //;.

D'autre part il peut se faire que le problème local admette plusieurs solutions ou une infinité de solutions. C'est même seulement dans ce cas que la question dont nous allons nous occuper peut présenter de l'intérêt. S'il en est ainsi, nous désignerons par Z(//(), 'A\iii), l'une des solutions du problème local au point m et nous choisirons cette solution arbitrairement, mais une fois pour toutes.

Nous devons nous demander maintenant s'il existe des fonctions

qui restent analytiques en tous les points de s et telles que l'on ait une identité de la forme (2) où la fonction 'h reste analytique, finie, et différente de zéro en tous les points de s. C'est là ce que nous appellerons le problème mixte.

Nous supposerons que les deux surfaces s et S sont continues au point de vue analytique, de telle sorte que les fonctions 9 et 4» soient analytiques pour toutes les valeurs des variables que nous avons à envisager.

Si le problème local n'admettait ([u'une seule solution, c'esl-à-dire si la surface s n'admettait aucune transformation en elle-même, le problème mixte doit évidemment être résolu par l'affirmative. Soient en efiét Z(/«) et Z'(rti) les fonctions relatives à un point m de s; soient Z(m'), 7J(m') celles qui sont relatives à un autre point m' de s, et (jui existent d'après nos hypothèses. Ces fonctions substituées à la place de /"(:;, z'), f'{z, z') satisfont à la condition (2); il doit en être de même, par continuité analytique, des fonctions qui sont la continuation analytique de Z(//i), Z'(m). Or si le problème local n'admet qu'une solution, ces deux solutions doivent être identiques, d'où il suit que Z(/n'), Z'(wj') ne peuvent être autre chose que la continuation analytique deZ(/«), Z'(w).

Comme nous supposons que le problème local admet une soUiiion en tous les points de j>, nous savons que les fonctions Z(/«'), Z'(m') sont analytiques et ne présentent aucune singularité dans le voisinage du |)oint m'. Donc on peut poursuivre la continuation analytique de 'A(in), Z'(?w) sur toute la surface s sans rencontrer aucune singularité. Ces fonctions avec leur continuation analytique nous donnent donc la solution du problème mixte.

Mais il n'en est plus de même si la surface s admet des transformations en H. H. - IV. 34

elle-même, la solution du problème n étant plus unique; nous savons bien que Z(ot'), Z'(m') n'ont pas de singularité près de m', nous savons bien que l'on peut poursuivre par continuation analytique les fonctions Z(m), Z'(m); mais nous ne savons plus si Z(//i'), Z'(m') sont les continuations analytiques de Z(m), 7J[m). La question est donc de savoir si ces continuations analytiques de Z(/n), TJ {rn) [nous dirons simplement désormais si /es /o«f/<o».« Z(w) et Z'(m)] peuvent présenter des singularités sur la surface s.

Il s'agit de savoir quelles peuvent être ces singularités. A cet eliét, nous remarquerons que si nous posons

la substitution

sera une substitution du groupe fcmdamonlal G relatif à la surface S. D'ailleurs, si Z(m"), Z'(w), considérées comme fonctions de z et de z' , présentent une singularil('' dans le voisinage du point m \ couiine d'antre part dans le voisinage de ce point Z(7«'), Yj^m!) sont des fonctions analytiques régulières de z et de z' et que réciproquement ; el :' sont des fonctions analytiques régulières de Z(m'), 'L{m'), il faudra bien que les fonctions

[c'est-à-dire 'A{m), Z'(m) considérées comme fonctions lie yj(m'), Z'(/?i')] présentent une singularité. Nous sommes donc encore ramenés à l'étude du groupe fondamental G de la surface S.

Nous pouvons déjà tirer de là la conclusion suivante. Supposons que pour aucune des substitutions du groupe G. les fonctions

ne présentent aucune singularité en aucun point de la surface S. C'est ce qui arrivera dans un très grand nombre de cas et qui sont précisément les plus importants. Nous verrons en particulier que c'est ce qui arrive si la surface S est une livperspliéi'e. C'est là ce que nous appellerons la condition A.

Il arrivcira alors que les fonctions Z(//i), Z'(m) pevivent être prolongées analytiquemenl sur toute la surface s sans présenter aucune singularité en aucun point de cette surface, il reste à montrer ([ue ces fonctions sont

uniformes. C'est ce qui arrivera si nous supposons de plus que la surface s est simplement connexe; dans ce cas, en ellel, si la foncliun 'Ll^m) n'étail pas uniforme, deux de ses déterminations ne pourraient s'échanger qu'en tournant autour d'un point singulier et nous avons vu qu'il n'y en avait pas.

Donc, pour les surfaces simplement connexes qui satisferont à la condition A, toutes les fois que le problème local pourra être résolu en chaque point de la surface, le probicuie mixte admettra une solution.

Je n'ai pas l'intention do pousser jusqu'au bout la discussion de la condition A. Je me bornerai à quelques remarques :

i" Je suppose que les fonctions /,(m ), Z'(m) puissent être définies de façon à être des fonctions continues du point m. En d'autres termes nous savons que le problème local admet une solution autour de chaque point de*; et je suppose de plus que les deux solutions de ce problème qui correspondent à deux points infiniment voisins soient infiniment peu différentes l'une de l'autre. Soit encore

Z( m) = V[Z{ /«.' I, Z'i «)' )J, Z'i ni ) = l'"'( Zi /// i, Z'( /«') |.

Nous avons vu que la substitution définie par les deux fonctions F et F' appartient au groupe G de S; mais nous devons distinguer dans ce groupe les transformations infinitésimales et leurs combinaisons qui forment un groupe continu Go faisant partie de G.

Je dis qu'avec notre nouvelle hypothèse, la substitution F, F' fait partie non

seulement de G. mais de G,,. Et en effet cette substitution peut être désignée

^ par [m, ni ) puisqu'elle dépend, d'après sa définition, des deux points m et m'.

Joignons m et m' par un arc de courbe quelconque situé sur s et décomposons cet arc en une infinité d'arcs infiniment petits

mm,. 7?(| «i-j III:,— [111,1. m,im.

Alors la substitution iin. ni \ pourra être regardée comme la combinaison des substitutions

(m, m,), (m,, mi), .... (ni,,^,, in„ ). (iii„, m'),

qui sont infinitésimales. Elle a[)[iartient donc à G,,. Il suffit donc alors que la condition A soit remplie par toutes les transformations de G,,.

2" Je suppose que la condition A suit remplie par toutes les transformations injinitîsi nulles de G, je dis qu'elle le sera encore pour toutes les transfor-

malions finies de Go- El en elTel si elle l'esL pour deux Iransfornialions, elle le sera également par leurs produits. Le ihéorème de Cauchj sur rinlégrabilité des équations difiérentielles permet de compléter aisément la démonstration.

3° 11 est aisé de voir que les substitutions de G ne peuvent jamais présenter certains genres de singularité; par exemple elles n'auront jamais de pôle si la surface S est tout entière à distance finie; car, le point

Z(m), Z'(m), Z,i(«(), Z||(nî)

devant se trouver sur la surface S, ses coordonnées ne pourront devenir infinies.

4° Elles ne pourront pas non plus, ou moins dans des cas très étendus, présenter de points de ramification algébrique, mais ceci exige pins d'atlontion. Pour pouvoir l'exposer plus facilement, je vais changer pour un instant de notation et écrire : ji et j'i au lieu de '/^{m'), Z'(m'); et x et j' au lieu de '/.{m), Z'(m). Alors on aura

.i- = F(jr,,.)-,). j)- = F'(;t,, j,), d'où l'on tirera

Xi = fi(x, y), >•,= 0'(;r, >');

et pour l'équation de la surface S

Je poserai ensuite

.r,= (l(xt, y,), .ro= 0'(a:,, >-,), x:,= 0(x,, jo), r,=:0'(.ro, ro),

xl et yl étant les imaginaires conjuguées de x,, et i „. On aura alors l'identité

'I)i = (l>ii(.i-, y. xo, .)•(.)'

•^ étant une fonction régulière et différente de zéro au point considéré.

Soient a, h les valeurs de Z.(m), 7J {m) qui correspondent au point m' de la surface s; soient ai, ^i les valeurs de '/^{in'), Z'{m') qui correspondent à ce même point m'. Ce que nous appelons le /joint considéré c'est le point x = a, r = b, X, = (lu >-! — (jf

Dans des cas très étendus, le groupe G relalif à la surface S comprendra une substitution

T = iZ. 7.', Z,„ Z;,: Z,, Z',, Z',', Z'," ),

(jui, cliangeaul la Mirface S en elle-même, changera le point Z, n^ rt, Z,':=6, en Z,i = ai, Z', = ^i ; et de telle façon que dans le voisinage de Z, ^ a, '/J ^^ b, les fonctions Z,, Z', soient analytiques en Z et Z' et, rcciproquemenl, que daus le voisinage de Z, = «i, Z', = A,, les fonctions Z, Z' soient analytiques en Zi et Z',. Si cette condition est remplie nous pourrons toujours supposer que

.Si en ell'et il n'en élail pas ainsi, nous pourri.ms appliquera Z(«i'), Z'(m') la substitution inverse de T et nous obtiendrions de nouvelles fonctions Y (wi'), Y'(/n'), telles que l'on ail

pour c'est-à-dire pour

'/J/ii') = /i,, Z'(in') = ht,

'At ni) = II. Z'i m I = b.

tandis que Zi//n, Z'(//(), considérées comme fonctions de Y(/»'), Y'(m'), présenteraient un point de ramification.

Nous pourrons alors, sans restreindre la généralité, supposer

« ^ /; = '(i = ^1 = II.

S'il en est ainsi, les fonctions F(.T,. Vt), F'{.r,, y,) s'annulent et présentent un point de ramification pour ./, = )i:=o. Si nous envisageons les fonctions inverses

.ti=.0(.r. )•), )-| = «'(.'■, y),

ces fonctions seront développables suivant les puissances de x et de y. Pour X ^y ^o elles s'annuleront ainsi que le déterminant fonctionnel

f/j-t r/y, ^ dxy dyt i)(j-u Ti) ~ </.i: il y (/y dx 0( x, y )

("■ela posé, nous aurons successivement

OÙ l'on a posé pour abréger

i, = 'il r, V. c" i" )

Cela nous peniiel d'écrire

où

La fonction i ne s'annulonl pas à l'origine par hvpolhèse, il en est de même de <hn et par conséquent de H„.

Soit

à(j-„. y„) f)(Xn. r„) i)(-ri. .) i) <>{.i-t, .l'i )

rj{x,y) t/(x„-\, y„-i) '/(Xi.r,) >)(j:\ y)

Il est clair que A„ présente un zéro d'ordre /( pour ./ =^ y = o. Nous pouvons toujours supposer

■0-2 et Y]'., étant d(îs S(''ries développées suivant le> puissances de .r et de r et commençani par des termes du second degré. Car on peut toujours ramener les fonctions 0 et 0' à celle forme par un changement linéaire de variables. Mais nous allons faire d'abord une hypothèse de plus; nous allons supposer que Ui et par conséquent a?„ est fonclion seulement de x. On a alors

" ~ dx dy '

et comme pour x = ^^--^ o on a —^ = a" , on voit que -y— doit présenter un zéro d'ordre n. il vient alors en diflerentiant <^„ ^ •l'H,,

d>K dy„ '/-1> ^,1, '/11,.

'/) „ dy " dy dy

Le premier meuibrc |irésenlc un zéro d'ordre /), et II„ ne s'annule pas. Il faut donc que l'équation <1» = o entraîne —.- = <i aux quantités prés d'ordre n en x-, )', x^^ )•„ ; c'est-à-dire que les deux surfaces

[jrësenicnl un conlact d'ordre n. Comme ou pmit [irendru l'entier n aussi grand

que l'on veut, ou doit conclure que l'équation $ ^ o entraîne -^ = o. Pour la

II 1 ■ . - ""!• même raison, elle doit entraîner -; — = o.

Mais cela n'est possible que si l'on a

f\ ne s'annulanl pas pour x ^ y = x„^=yv^= o; c'esl-à-dire si l'équation de la surtacc S se réduit à

C'est là une forme d'équation très particulière et admettant un groupe G continu d'ordre infini.

Seulement nous avons fait au début une hypothèse très particulière, à savoir que .ri est fonction de x seulement et il reste à faire voir que l'on peut toujours, par un changement de variables convenable, ramener au cas où cette hypothèse est vérifiée.

Je veux montrer qu'il existe une fonction ;(.r, j) développablc suivant les puissances de x et j', et telle que l'on ait identiquement

?(^,, j,)=l-[E(x-,j)J, F étant développable suivïinl les puissances de £. Posons

\,i étant homogène de degré n en x et f. Nous aurons d'abord

ç 1 = .ïj ^J 1 = ^ •

Nous déterminerons ensuite par approximations successives \^ et [Bo, puis ^3 et p^, etc. Pour déterminer £„ et (3„ nous aurons une identité de la forme

5i(j.j-, o ) = :(ç„(j, )■) ^ p„j;" -I- termes connus

et l'on pourra déterminer ;„ et p,, sans difficulté. On pourrait même supposer ^,,= 0 à moins que l'on n'ait

Quant à la convergence des séries, on rétal)lirait par la méthode des fonctions majorantes.

On pourrail alors prendre pour variables nouvelles ; et j- au lieu de .r cl y oL recommencer le raisonnemenl précédent. On verrait ainsi que l'équation de S doit être de la forme

5" Comme les deux surfaces 5 el S jouent un rôle identique, il est clair qu'au lieu d'envisager le groupe G de la surface S, on aurait pu tout aussi bien envisager le groupe g de la surface s.