VII. — Transformations de l'hypersphère
Je suppose que la surface s soit Vliypersphère
Ci) zz^^zz'„=y.
et je me propose de déterminer le groupe G correspondant. J'observe d'abord que cette hypersphère se change en clle-mémo par les substitutions linéaires
I ri Z -^ b z' -^ C II' Z ^ II' z' ^ C \
\' " ' a"z -h b" z' + c°' II" z -^ b" z' ^ c" J '
pourvu que les coefficients a, h. ... satisfassent aux conditions
1 mu, -h a II',, — '("«',; = bbi, ^ ù' b'„ — b"b", = — cc„ — c' c'„ ^- c'cl, (3) } iibu -J- a b'„ — a''b"„ = bc,, — b' c\, — b" c"„ = ca„ -i- c' a'„ — c" a!'„ = o,
( iiu b — a'a b' — (/',; b" = b„c -i- b'„ c' — b"„ c" = c„ a -h c'a a — c", a" = o.
Les substitutions (2) forment évidemment un groupe que j'appellerai 1'. C'est un groupe continu d'ordre 8 qui est précisément le groupe (4) du paragraphe 111. Les groupes discontinus contenus dans ce groupe F sont précisément les groupes hyperfuchsiens découverts par M. Picard.
Il reste à savoir si T est idenli(|ue à G, ou si T est un sous-groupe de G. J'établirai d'abord que G ne conlienl jias d'autre substitution infinitésimale que celles de F.
A cet eflet, j'aurai avantage à transformer l'équation de l'hypersphère en posant
doù
~ {\ — x){l — Xa)
L'cqualion Je l'hypersphére devient ainsi
(4; X -r- j[:o — yyo=o.
Appliquons à nos variables une transformation infinitésimale en changeant x et r en a: + ; ely-\-ri. Pour que cette transformation n'allf're pas l'Iiypersphére, il faut que l'on ait l'ideulité
(5) Ç H- Eo-t- V"-*- ''^lo.y = (^ + ^o-^ryo)'^,
•h étant une fonction analytique de x, x„, y, j'o-
Développons ï, rj, ïo) "loi '^ suivant les puissances de y et de j-^ et écrivons
-av) • • • 1 'l'jiv représentant l'ensemble des termes en y^y',. L'identité (5) nous donnera en égalant les termes en y^y''„
On voit que l'on peut avoir une série d'identités de la forme (6) où figureront seulement des fonctions
pour lesquelles la différence jj. — v sera constante. Nous pourrons donc considérer séparément les fonctions de la forme (7) correspondant à une différence donnée /j. — v.
Nous devons observer de plus que dans f.j..v l'indice v doit être nul, car la fonction H ne dépend que de x et de y. Inversement, dansï^., l'indice jn doit être nul. De même dans r;ji.,,t on doit avoir v =^ 1 ; dans r)^,.v on doit avoir fi r= 1 . Donc on aura ^av^ o par exemple si v n'est pas nul.
Faisons d'abord p. — v = o, nous aurons la série d'identités
Çoo-H m 11 = (.zr + a;o)<{'oo, '110.10-1- -noi.l' = (^-r -i- a^o)'l'ii -HJKo'l'oo,
o = (.r -H .ro)4'2«-^-.^'.^■o'^ll = (x + j;i))<!':u-+-yjo'l'22 = - . .= (j: + Xo)(!'[i[j.-l-yo'J'u.-i.[j.-i.
On voit nue les rapports f^» 4-^) • • • 1 '^7' '^~' sont divisibles par .r + x^,.
Donc i/u sera divisible par (.c + jto)'^"' et cela quelque grand que soit ,u.,
c'est-à-dire que Ion devra avoir
'iii = I),
d'où
;oo-+-ÇSo = ("j:^-!- J;o)'j'oo, t, 1 oj 0 -l- ■'■,01. >' =>l>'o'l'oo H. P. — IV. 35
OU, en posant rîio= Ky, ■'iôi = Çojo,
s -H Ço = <j'oo.
Nous aurons d'ailleurs
? = Çooj |o = ?0(U
puisque ; ne contient pas d'autre terme, et il restera
(8) I -f-io= (J.- + J^o)(Ç — ïo),
où ; et Ç dépendent seulement de x; la et Ço seulement de a\,. Cela n'est possible que si
-y^ = — -~- = consl.
ox aXo
Ce qui nous donne les quatre solutions suivantes :
I" l = ix, Ço = — 1^0, i = i^-, ?o = — '-l'o, ■'i = ''^J'; 1^11 = — I j;u )|,;
2» C = ^„=i, ? = -?.r, Ço=2j:o, ■'■i=.y, ■r,o = j-o;
'3" :; = i, io = — h ç = ?o = o, Ti = '.)■, % = — î^o; 4" î = ;o=o, ? = '■, ?o = — ', •^ = -no = o.
Supposons maintenant
nous aurons la suite d'identités
o = (j; -l-a:o)<^32+i!'ai = (a; + a;o)i|^i3H- 't'32 =
On verrait comme plus haut que d^oi = o, et l'on en déduirait
a et Y dépendant seulement de x, et f3„ de j^g. 11 reste alors
ce qui comporte les quatre solutions suivantes :
Y = o, ï = «, ^0 = — ', ? = O'i CCI = o, ■») = o, -^0 = — i,
'v=o, 3t=I, iJo= — I, ?=r, Ço=0, ^ = 0, T,„ = — I,
Ces solutions ne conviennent pas, car elles ne donnent pas pour \ et ^o d'une part, pour n et r)„ d'autre part, des fonctions imaginaires conjuguées. Mais en faisant fx ^ v — i on trouve quatre nouvelles solutions
{lobis)
U = ^aXo,
■'•io = yl,
|o = — O'Ol
Ço = J'o,
çn = — i*^"o.>'oj
?o = -Coya,
Eo = .»o,
? = ('xf.
Ço =^ — ''t'o.Ko,
•r|0= ixd — iyl
qui sont imaginaires conjuguées des précédentes. En ajoutant les solutions (lo) et (iobis) on trouve quatre nouvelles solutions
qui conviennent au problème.
Si nous faisons maintenant jjl = v + 6, il vient, en supposant b > o,
1*0 = (-1' -+- J'o)'|'4o, ■'■|/.+i.n,1û= (.K + .Bo)4'6+i.i-l-J'o'l'6o-
On verrait comme plus liant que i^/, hi.i est nul et l'on en déduirait
ylba= {^ + J^o)'"14-)-i.o-
Le premier membre ne dépendant pas de a:„, il doit en être de même du second; ce qui entraîne
7|()+i.o = iio = o ;
il n'y a pas de solution. Si l'on supposait 6 < o, on arriverait au même résultai, car on obtiendrait des relations qui seraient imaginaires conjuguées des précédentes. Le problème ne comporte donc pas d'aulres solutions (jue les solutions (9) et (1 1). Ces solutions sont au nombre de huit, elles ne peuvent donc être autres que les huit liansforinalions inlinilésimales du groupe T qui est d'ordre 8. c. q. v. n.
Je mets maintenant de nouveau l'équation de l'hypersphère sous la forme (1) et je me propose de démontrer que le groupe G ne contient pas d'autres transformations finies que celles de F. Soit en effet
une pareille transformation. Je ne restreindrai pas la généralité en supposant que pour z =^ 2'= o, on a Z := Z'= o.
Supposons en effet que cette transformation T transforme le point 3 = a, a'= a' dans le point Z = j3, Z'^ |3'; je supposerai de plus qu'aucun de ces deux points n'est sur l'hypersphère. Je supposerai encore que le déterminant fonctionnel de la transformation T, c'est-à-dire le déterminant fonctionnel de Z et Z' par rapport à s et z', ne s'annule pas pour s r= a, ^'= ot'. Cela est permis puisque ce déterminant n'est pas identiquement nul et que le point a, a' est arbitraire.
Parmi les substitutions du groupe F, il y en a une qui change l'origine en un point quelconque ^ := c, z' ^ c', pourvu que ce point ne soit pas sur l'hypersphère; ce qui veut dire que l'on peut choisir les coefficients a, b, ... de la substitution (2) de telle façon que les relations (3) soient satisfaites, que c" =^ i et que c et c' aient des valeurs quelconques, pourvu que ces valeurs ne satisfassent pas à l'égalité
CCo -I- c'c'n = I.
Soient alors A et B celles des substitutions du groupe T qui changent l'origine en le point x, a' pour A, ou en le point 3, |3' pour B. Alors la substitution
ATB-i
transformera le point 3=s'r=o en lui-même. Elle fera d'ailleurs partie du groupe G puisque A, T et B en font partie; elle pourra donc être substituée à T. D'ailleurs son déterminant fonctionnel ne s'annule pas à l'origine.
Soient Gj et l'i les sous-groupes formés des substitutions de G et de F qui changent l'origine en elle-même. Il est clair que F, sera un sous-groupe de Gi et, d'après l'hypothèse que nous venons de justifier, T fait partie de Gi- Quant au groupe F|, il est formé de toutes les substitutions (2) qui sont telles que
d'où
Nous ne restreindrons pas non plus la généralité en supposant que T est tel que l'on ail (pour z r= z'=z o, c'est-à-dire à l'origine)
dZ
Supposons en effet que l'on ail à l'origine
(iZ . dZ ^ dZ' dZ'
Nous pourrons combiner la substitution T avec une subslitulion du groupe \\, et nous obtiendrons ainsi une substitution Ti appartenant comme T au groupe Gi el qui changera z et z' en
Zi = aZ -t- bZ' , Z\ = a'Z -4- b'Z'
Les coefficients a, b, a\ b' sont assujettis aux conditions
( aao-r- a' a'f) =; bbt, -t- ô'è'o = i, (12) ■
( aèo ^ a' 6 0 = «0 6 — «0 6 = O)
qui ne sont autre chose que les conditions (3); il faut choisir cr, b de façon que ces conditions (3) soient remplies et que l'on ait
Cela est toujours possible. La substitution Ti satisfait d'ailleurs à la condition
, ofZ, imposée "T^r = o. c. q. f. n.
Ajoutons que le déterminant fonctionnel de Zj et Z', par rapport à z et à z' ne s'annule pas à l'origine, puisque celui de T ne s'annule pas.
Soient G-2 et Fo les sous-groupes formés des substitutions de Gi el Fj qui satisfont à l'origine à la coudilion
Il esl clair que T., sera un sous-groupe de G2 et, d'après l'hypothèse que nous venons de justifier, T fait partie de G.^. Quant à T^, il esl formé de toutes les substitutions de F] pour lesquelles on a
d'où, d'après les conditions (12),
Il se compose donc des substitiiiions qui changent z et z' en
az, b'z',
où
aoo = fc'è'o = I.
Ainsi T fait partie de G, de Gi et de G^. D'ailleurs : F est le plus grand groupe continu contenu dans G; Ti est le plus grand groupe continu contenu dans Gi ; T., est le plus grand groupe continu contenu dans Gj. Comme T fait partie de G, il change tout groupe continu contenu dans G en un groupe continu contenu dans G; donc tout sous-groupe de T en un sous-groupe de F; donc F en lui-même. De même T change F( en lui-même et F, en lui-même.
Si donc l'on a
on devra avoir identiquement
/{az, b'z') = X/(z, z'), f'iaz, b'z') = }i'f'{z, z'),
A et B' étant des constantes de module i , si a et 6' sont des constantes quelconques de module 1 . Cela n'est possible que si l'on a
Il est aisé de vérifier que l'équalion de l'hypersphère ne pourra rester inaltérée que si les constantes n et/? se réduisent à l'unité, c'est-à-dire si T fait partie de Fo.
Donc il n'existe pas d'autre substitution qui n'allére pas l'hyperspliére que celles du groupe F. Les deux groupes G et F sont identiques.
Nous allons maintenant vérifier que les fonctions
az-t-bz'-t-c „, a z -i- b' z' -h c
'' = —r, nr-, ;» Z =
b'z'-^-c' a'z-i-a'z'-hc"
ne présentent aucune singularité en dehors de l'hypersphère. La seule singularité possible serait obtenue pour
Mais en vertu des relations (3) l'équation de l'hypersphére peut s'écrire
(i5) (az -h bz' -h c)(at)Za-h boz't,-i- Co) -i- (a' z -h b' z' + c')(a'oZo+ b[,z'„-h c'a) = ( a"z + b'z'-h c") ( ol zo + bl z'o -+- cl ).
Si l'équation (i4) était satisfaite, le second membre de (i5) devrait s'annuler, ce qui est impossible, car le premier membre est essentiellement positif.
Comme d'ailleurs l'hypersphére est simplement connexe, les conditions du paragraphe précédent sont remplies; c'est-à-dire que si l'une des deux surfaces * et S est une hypersphère et si le problème local peut être résolu dans le voisinage de chaque point, le problème mixte comportera une solution.
