VIII. — Le problème étendu

Reprenons notre surface s limitant un domaine d et notre surface S limitant un domaine D. Nous supposons le problème mixte résolu; nous connaissons donc des fonctions Z et Z', analytiques en tous les points z, z' de la surface s et transformant 5 en S. Pouvons-nous en déduire la solution du problème étendu, c'est-à-dire pouvons-nous trouver des fonctions, analytiques, non seulement en tous les points de la surface s, mais en tous les points du domaine d limité par cette surface et transformant .? en S et rf en D ? Les fonctions Z et Z', qui nous fournissent la solution du problème mixte et qui sont régulières sur la surfaces, présentent-elles des singularités à l'intérieur de of ?

La réponse nous est fournie par un théorème de M. Hartogs ( ' ).

D'après ce théorème, une fonction de deux variables s et z' sera analytique à l'intérieur d'un domaine d à quatre dimensions, pourvu qu'elle le soit sur la surface s à trois dimensions qui limite ce domaine.

La démonstration pourrait se rattacher à des considérations que j'ai développées à propos d'une question entièrement difTérente dans le Bulletin Astronomique, t. XVT. Voir aussi mes Leçons de Mécanique céleste, t. IL Soit ¥{z, z') la fonction en question. Par hypothèse, elle est régulière dans un domaine o comprenant tous les points de 5 et les points suffisamment voisins; je dis qu'elle est régulière dans tout le domaine d.

Considérons un contour y dans le plan des z et l'aire (3 limitée par ce contour.

(') Hartogs, Eiiiige Folgertingen aus der Caachyschen Inlegralformel bel Funklionan mehrerer Verander/ichen (Sirzangsb. der inath.physik. Klasse der K. B. Akademie der Wissenschaften zu Munchen, t. 30, 1906, p. 223-242).

28o FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. REPRÉSENTATION CONFORME.

Je dirai qu'un point ; = a salisfail à la condilion A, s'il existe une valeur a! de z' telle que le point n, a! appartienne à d; je dirai que l'aire ,3 satisfait à la condition A si tous ses points satisfont à la condition A. Je dirai qu'un point ; = a satisfait à la condition B, s'il existe des valeurs a! de s' telles que le point a, a! fasse partie de ô. Je dirai que l'aire (3 satisfait à la condition B, s'il existe des valeurs de z' qui associées à un point quelconque de (3 donnent un point appartenant au domaine ô.

L'ensemble de ces valeurs de 3' forme alors dans le plan des .:' une certaine aire j3'. et en associant un point quelconque de (3 avec un point quelconque de |3', on obtiendra un domaine à quatre dimensions jîjS' faisant partie de ô. Il est clair qu'un point ; = a quelconque satisfait à la condition B s'il satisfait à la condition A. Soit, en efl'et,

l'équation de 5; le domaine d pourra être défini par l'inégalité et le domaine <^ par les inégalités

Soit z = a\ nous aurons par hypothèse des valeurs de z' pour lesquelles 4» > o; d'autre part pour z' très grand on aura $ <; o, puisque la surface s est fermée, d'où il résulte que le domaine d ne s'étend pas à l'infini. Donc par continuité O pourra prendre des valeurs comprises entre — e et e. c. q. f. d.

On déduira de là que dans le voisinage de loul point z ^=^ a satisfaisant à la condilion .\ il y a une aire (3 satisfaisant à la condition B, et par conséquent fiue toute aire [3 satisfaisant à la condition A peut être décomposée en aires plus petites satisfaisant à la condition B.

Je dis maintenant que la fonction F est uniforme dans d. Considérons en effet un contour fermé y dans le plan des z, soit F„ la valeur initiale de F quand on part d'un certain point de ce contour, et Fj la valeur finale quand on en a fait tout le tour. Il faut démontrer que

D'abord la difiérence F| — F,, est une fonction do c', susceptible d'être poursuivie par continuation analytique. Supposons d'abord que l'aire (3 limitée

par le contour y satisfasse à la comlilion B, alors pour les valeurs de .s' appartenant à l'aire ,3', on aura

puisque la fonction F est uniforme dans le domaine è et par conséquent dans le domaine pp' .

Cette différence sera donc encore nulle pour toutes les valeurs de s'.

Si l'aire (3 ne satisfait pas à la condition B, on la décomposera en aires plus petites satisfaisant à cette condition.

La fonction F est donc uniforme, il reste à montrer qu'elle ne présente pas de singularité, c'est-à-dire que l'intégrale

{z — a)P¥ 'Iz,

OÙ a est un point quelconque satisfaisant à la condition A, où p est un entier positif quelconque, intégrale prise le long d'un contour fermé quelconque entourant le point a; que celte intégrale, dis-je, est toujours nulle. Or c'est ce que l'on verrait en raisonnant sur cette intégrale comme nous avons raisonné sur la différence Fi — F,,.

Il ne sera pas inutile de donner une démonslraliou spéciale |)(jur le cas où la surface s est une hypersphère. Soit

Z = ¥{z, 2') = X + jY.

Sa partie réelle X satisfera aux équations

dzdzo dz' dza dzdz'a dz dz'fi '

et par conséquent à l'équation , , rfîX d^\

dz dzo dz dz'„ Si alors nous faisons

.3 = j; -I- j't, Zo = ^' — iy-,

z' =: x' -i- iy' , s'a = .c' — iy',

l'équation (2) pourra s'écrire

,,, .,, di\ d-^X d-^X d-X

dx- dy- dx - dy - H. P. — IV. 36

C'est réqualion de Laplace; la fonction X étant par hypothèse régulière dans le domaine o, c'est-à-dire pour les points voisins de l'hypersphére

ZZfi -t- s 5(1 = I,

pourra s'exprimera l'aide des fonctions sphériques, ou plutôt de leur généra- . lisation pour quatre dimensions; nous pourrons donc écrire

(4) X = SP„ -+- s Q„( 330 -i-='3'„ )-!-'■,

P„ et Q„ étant des polynômes homogènes d'ordre n en x, j, x', y' satisfaisant à l'équation (3); ou ce qui revient au même en z, z„. z', z'„ satisfaisant à l'équation (2). La fonction X ne peut d'ailleurs être développée sous celle forme que d'une seule manière.

Soient alors DiX, D^X, D3X, D4X les quatre dérivées partielles de X qui s'annulent en vertu des équations (i), il viendra

SDP„+ SD[Q„(=;o+ s'z'o )-'-"] = o.

Nous remarquerons que DP,, et DQ„ sont des polynômes sphériques d'ordre n — 2 ; c'est-à-dire que l'on a

A(DP„) = A(nQ„) = o.

Posons pour abréger

— I — n = k, R = szo-l- -'-oj

et supprimons l'indice rt de Q quand il ne sera pas indispensable. Il viendra

D,(QR') = R<DQ -H AU*-'/'; ^ + ^o ^) + AQR*-' + Â(A: - i):;„QR*-=,

\ az azo I

D,(QR*) = R''DQ-t-/>R'-'('; ^ •^- -» ^ W '^'(^" " '^^^oQ"^'"'-

D3(QR*)=R<DQ-+-XR<-'(g'^ + j„ .^ ") + /:( a- 1)3' ;„QR<-S

\ tlz (tz 0 /

D,(QR*) = R^DQ ■+■ AR<-' iz ^ -h z\ ^^+ A:QR*-' -h k(k -1)2 z'^q^^-K

En combinant la première et la quatrième de ces relations et appliquant à Q le théorème des fonctions homogènes, on trouve

A(QRi)= RAAQ + /-R*-i(/iQ) + -),A-QR*-'-l- A-(/: — i)(33o-l- ,-'z'„ )QR*-°-,

ou, en remarquant que AQ = o, s;,, -I- z' z\ = R,

A(QR*) = «AR*-iQ -H A( A- -H i)QR*-',

d'où

A(QR*') = o, puisciue A' -H i = — n.

II esl clair que l'on aura

A[D(QR^)J = o,

et que D(QR'') est homogène d'ordre — n — 4 ! on a donc

H^ étant un polynôme sphériqne d'ordre n + i, dont l'expression est donnée par les formules précédentes. Dans ces conditions, les équations (i) peuvent s'écrire