I. Soil d'ahord une fonction F(.r) de genre zéro

1" Supposons que x croisse indéfiniment en conservant un argumcul déterminé, et que a soit un nombre tel que

lim e^' ^ o ;

on aura également

lim e»''F(x) = o,

quelque petit que soil le module du nombre x.

2" Considérons l'intégrale définie

linlégrale étant prise le long d'une droite d'argument tel que la limite de e=^

pour 5^30 soll nulle. Celle iiilograle définira une fonction tl> ( ) qui esl holoinorphe en .r, sauf pour ,r-"=o, c'est-à-dire une foncliou entière de--

3" La fonction F(.') peut se mettre sous la forme

<\Hz)

e' dz,

l'algorithme •I'(-) désignant une fonction entière, et l'intégrale étant prise le long d'un contour enveloppant l'origine.

4" Si l'on se reporte maintenant au savant Mémoire de M. Halphen, intitulé Sur une série d'Abel et inséré dans un des derniers Bulletins de la Société mathématique de France, on reconnaîtra que F(j") peut être représentée par la série d'Abel dont il esl question dans ce Mémoire, et cela quelle que soit la constante (3.

II. Malheureusement ces propriétés ne sont pas caractéristiques des fonctions du genre zéro; elles appartiennent en outre a quelques fonctions de genre i, parmi lesquelles je citerai la suivante ;

Si plus généralement on envisage le produit iulini

OÙ la suite des nombres a„ est telle que la série 2. — "'^ soit pas convergente, mais que cependant l;i limite de — " ])our n infini soit infinie, la fonction f (./) sera de genre r et cependant jouira des propriétés énoncées plus haut.