SD,P„+SH'„R

et comme une fonction ne peut se développer que d'une seule manière en série de la forme (4), on devra avoir séparément

On aura donc

(5) Q„R*=Yh-Yo,

Y étant fonction de z et z' seulement, Y,, fonction de -„ et z\ seulement. On en tire

Q„=(Y + Yo)(23o + -'^'o)"+».

Q„R'' est une fonction rationnelle. Donc il en est de même de Y ; il suffit pour s'en assurer de donner à z„ et z\ des valeurs constantes dans l'identité (5). Il en est de même de Y^. Posons donc

U, V, U„, V„ étant des polynômes premiers entre eus; il viendra

(6) Q„VVo=(UVo+UoV)(:g„-i-3'^'„)«+'.

V divise le premier membre, il est premier avec U et avec V,,, donc avec UV„ et avec UV„+U„V; donc il divisera le facteur (5S„ + s'5o)"+*. Or ce facteur n'admet aucun diviseur dépendant seulement de z et s'; il faut donc que l'on ait

V = Vo=i,

ce qui est impossible, puisque Q,, est de degré n, et que le second membre contient un facteur de degré 2/1 + 2. On a donc

et par conséquent

ce qui montre que X reste régulier dans tout le domaine d intérieur à l'hypersphère, c. Q. F. D.

On voit la dillérence avec le cas des fouclioiis d'une seule variable. Dans ce cas l'équation (4) deviendrait

X = SP„-h2Q„(3So)-'S et l'équation (6),

Q„VV„ = (UV„+U„V){33o)";

V serait un diviseur de s", V„ un diviseur de z"^ et il n'y aurait pas de raison pour que Q„ soit nul; on trouverait au contraire

V = ô", V„=3;', U = U„=i, Q„=::"+sï,

ou bien

V=:'', V„=;S, 1-' = ', Uo = -«, qn=i{z"-z-i).