IX. — Le problème sur l'hypersphère
Supposons ijue In surface .? soit une hypersphérc et la surface S une surface infiniment voisine de l'hypersphère. Soit •
l'équation de s; soit
ZZ„-i- Z'Z'i, = I + '|/
celle de S, •]> étant très petit. Nous poserons
Ç, etc. étant 1res petits. Il s'agit de savoir si l'oa peut trouver des fonctions
'dz '^"''dz
dx, , d:ç "5? ^"°rf?
r/So dz^|
d:„ ^ , rfC'„
''^11 dz^
satisfaisanl à l'idciililé
(i) zlo-h Zol-h z'I'o-t- z'„'Ç,'= 'h -h(zzo-î- z'z'„ — i)fi = <p.
iNous avous, pour écrire celle ideniilo, négligé les carrés de Ç. J'ajoute que Ç el Ç' doivent être fonctions seulement de ; et de :', et Ç„ et Ç'„ de :■„ et z'^. En difFérenliant cette identité, on trouve
En différcntianl une fois de plus ou trouve
Di î = — + -7— )
f/z dzo
Da ? = -7- H- -7-r ' riz dz „
Di, Do, D3, D4 avant (ainsi que A) la même signification que dans le paragraphe précédent.
On en conclut qu'on a pour des indices i el A' quelconques
D(Da.? = o, et par conséquent
ou bien encore
(4 6js) D,A9 = ADjcp = o.
La solution générale de l'équation (4) est
? = SX,, -H SY„U -H SU„R-"- 2V„R-'-",
X,i, Y„, U„. V„ désignant des polynômes sphériques d'ordre n el d'ailleurs
Comme hi fonclion o doit rester régulière pour R = o, il restera
ou
(5) ç = X + YR,
avec
X=SX„, Y = 2Y„, AX = o, AY = o.
Les équations (4 6/.?) nous donnent
D, A(YR) = o.
Nous avons d'ailleurs
de sorte que les tiqnalions (4 bis) deviennent
ce qui exige que l'on ait séparément
Calculons uiainteuanl D,D/i(YR); nous trouvons, en nous reportant aux formules qui donnent D, (QR') et y faisant A' = i , Q = Y, D,Y =; o,
r. /vn d\ , d\
Dj \Rj = 3 - ^2'o-j— ,
n /vn '«^Y , rfY ^
Les équations D,( Y) ^ o nous apprennent que Y est la somme d'une fonction de z et de -' et d'une fonction de -„ et z'„. 11 en résulte immédiatement qu'il en est de même des seconds membres des équations (6) et par conséquent que l'on a
D,Dx(YR) = o.
Comme D,D/,'y := o, on aura de même (7) D,IUX = rj,lnY = o.
Pour R =: 1, 9 se rt^duit à ^ qui est une fonction connue, el l'on a d'iulleurs
Si donc nous posons
Q = X-hY,
la fonclion Q régulière à l'intérieur Je l'Iiypersphére el salisfaisanl à AQ = o se réduira à '|/ sur la surface de l'hjpcrsplière. La fonction Q est donc entièrement déterminée et peut être regardée comme une donnée de la question. A cause des équations (7) on devra avoir
C'est là une première condition pour que le problème étendu comporte une solution.
Nos équations prouvent que ^, D,X, D2X, D^X, D^X sont égaux à une fonclion de s et de 5', plus une fonction de z^, et de z\; écrivons donc
Y = U + Uo, D,(X) = V,-+V/,
où U el V,- sont fonctions de z et z' , U„ et V", fonctions de z„ et z\. Nous pourrons écrire
où W,- dépend de z et -', et \V° de ^„ et ;'„. On a alors
az az
^^^ \,, ^, dXJ „, ,, -, ,rfU
W..,= Vs-r-C -j-ï Uv = % i+ Ij H-^ -^•
az az
Quant à WJ, W°, W°, VV", ils sont naturellement imaginaires conjugués de Wj, W2, W;,, W4 el nous ne les écrirons pas explicileinenl. On a
D,X = D,Q = V,-hV?
et comme Q est une fonction connue, les fonctions ^ ,• doivent être regardées comme connues.
La comparaison des équations (3) et (9) nous donne alors
az az az az
les C élaiil des constantes; od tire de là par intégraliou
( Ç =U; +C,z-hC,z'-h l\\\dz-i-\ods'), 1 î'= Uz'-hC:,z-hC,z'+ r(\'-,dz^\\,h').
Il faut diinc que
V, dz -T- Vo dz', \\ ds -h V V dz'
soient des difïérenlielles exactes, et c'est là la seconde condition pour que le problème soit possible.
Posons ensuite
C, s H- C22'+ Ç{\^ dz -t- Vo dz) = T„
Cs z -4- c. ;' + f( V;, dz + Vi r/s' ) = t'
Les fonctions ri et r/ dépendent seulement de z et ;' et elles sont entièrement déterminées, à (rois constantes près pour chacune déciles {a savoir pour r;, Cl, Cj et la constante d'intégration).
Cela posé, les équations (lo) nous donnent
s — ( U -^ Uo ) K -+- 7) ;„ ^ r,,, z + -r{ z'„ -I- ■r\'„ z
et comme Y = U + U,,, on aura, d'après (5),
( X = ■ifix;o+ -OoS + Ti's'o + ïi'oz', (II) ■
( Y = Q — 71 Z„ — -Oo 3 — TT)' Z'o — Vo s'-
Les fonctions X et Y seront donc déterminées à un certain nombre de constantes prés. Pour que le problème se trouve résolu, il faut et il suffit que la valeur de Y déduite des équations (i i) satisfasse aux conditions
Car alors on [lourra poser V = U + U,, et les équations (lo) nous donneront la solution du problème. Mais il est aisé de voir que l'on trouve
D, Y = D.Q - p :^ = V, -t- V» - V, - V; - C, - CJ nz fiZo
avec trois autres équations analogues, et par conséquent que l'on peut choisir
les constantes de façon que
Les deux conditions énoncées plus haut sont donc suffisantes.
Quelque incomplels qu'ils soient, les résultats précédents sulliront, je pense, pour montrer à quel point le problème qui nous occupe se présente sous un jour durèrent pour les fonctions d'une variable et pour celles de deux variables. J'espère pourtant que, quand on aura mis la chose au point, les considérations de ce genre rendront pour les fonctions de deux variables des services analot;ues à ceux qu'elles ont déjà rendus pour les fondions d'une variable.
ANALYSE
