DR SES

TRAVAUX SUR LES FONCTIONS ABÉLIENNES

Faite par II. POlXCARÉ.

Acln inathemalira, t. 3S, p. 79-83 (1921).

f-.! Théorie des fonctions abéliennes est loin d'être aussi avancée que celle des fonctions elliptiques. Un grand nombre des propriétés de ces dernières transcendantes ne s'étendent pas ou ne s'étendent que difficilement au cas général. On ne doit pas s'en étonner si l'on se rappelle que beaucoup de propriétés des fondions d'une variable ne sont plus applicables aux fonctions de plusieurs variables. C'est la même difficulté qui nous a occupés au paragraphe VII.

()n a été conduit aux fonctions abéliennes par l'étude des courbes algébriques et des intégrales abéliennes. Je me suis occupé incidemment [ 138] des transformations birationnelles des courbes algébriques afin de démontrer qu'on peut toujours ramener ces courbes à des courbes gauches dépourvues de toute irrégularité. Un des premiers faits que l'on a remarqué est In possibilité de la réduction de ces intégrales abéliennes. Jacobi en a déjà rencontré quelques exemples; dans des cas assez nombreux, on voit des intégrales appartenant à à une courbe de genre p se réduire à des intégrales de genre inférieur à 0 ou même à des Intégrales elliptiques. Mais on est bienlôl amené à se placer à un

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point de vue plus élevé; les fondions 0. qui doivent leur origine aux intégrales abéliennes de première espèce, ne sont qu'un cas particulier des séries 0 les plus générales. Mais il est aisé de voir qu'à ces transcendantes plus générales appartiennent des intégrales, qui sont, il est vrai, des intégrales de différentielles totales, mais qui peuvent néanmoins être regardées comme la généralisation des intégrales de première espèce. Il est alors naturel d'appliquer à ces intégrales le procédé de la réduction; le problème primitif reçoit une importante extension; mais, par la suppression d'une restriction gênante, il est simplifié et non compliqué; car on peut désormais introduire dans ies raisonnements des fonctions 0 quelconques, sans avoir à s'inquiéter de leur origine.

Les géomètres se sont de longue date préoccupés de ce problème, qui doit nous fournir d'importantes données sur les fonctions algébriques et qui est un des meilleurs chemins pour pénétrer dans le domaine mystérieux des fonctions abéliennes. Dans ces derniers temps, M. Picard, par une série do brillants travaux, lui a fait faire plusieurs pas importants.

Mes premiers essais dans cet ordre d'idées ne portent que sur un cas particulier. Ainsi que je lai expliqué plus haut, dans le paragraphe intitulé : Inlégration des équations linéaires par les fonctions algébriques, si l'intégrale générale d'une é([ualion linéaire est algébrique et si, à laide de cette intégrale générale, on forme un système d'intégrales abéliennes de première espèce, il v a entre les périodes de ce système un grand nombre de relations inléressanles. J'avais là un moyen [10] de pénétrer plus profondément dans l'étude des fonctions abéliennes, et je résolus d'en profiter. Je choisis comme exemple -particulicr le système d'intégrales abéliennes que l'on peut former à l'aide de la résolvante de Galois de l'équation modulaire relative à la transformation du septième ordre. Je trouvai que les relations qui existent entre les périodes suffisent pour les déterminer complètement. Etant ])arvcnu ainsi à calculer ces périodes, je m'aperçus que, parmi les intégrales abéliennes de ce système (qui est du genre 3), il y en a une infinité qui sont susceptibles d'être réduites aux intégrales elliptiques. C'était là un troisième exemple d'une circonstance remarquable, déjà signalé(! deux fois par M. Picard.

Mon attention fut de nouveau attirée sur cette question par un Mémoire de M""" Kowalcvski, où se trouvaient cités deux théorèmes de M. Weierstrass, sur la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales elliptiques. Ces deux théorèmes avaient été communiqués à divers savants par des lettres du professeur de Berlin, mais la démonstralion n'en avait pas été publiée. J'ai donné [88]

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deux démonstrations différentes de ces deux propositions; j'ignore encore si mes méthodes sont identiques à celles de M. Weierstrass. Toutes deux sont empruntées à l'Arithmétique, el l'on ne doit pas s'en étonner, car le problème est en réalité purement arithmétique. La première démonstration se fonde sur la considération des formes bilinéaires. Dans la seconde, j'emploie un procédé particulier de réduction. .le suppose que dans un système d'intégrales de genre p, il y en ait rji qui soient réductibles au genre [j.. Leurs 20 périodes, ou périodes anciennes, s'exprimeront alors à l'aide de 2p. quantités, qui seront les périodes nouvelles, par des polynômes linéaires à coefficients entiers. ( )u peut donc dresser un Tableau de 4?^'- nombres entiers qui caractérise la réduction. Mais ce Tableau peut être dressé d'une inliiiilé de manières; car on peut remplacer, soit le système des périodes anciennes, soit le système des périodes nouvelles par un système équivalent. Le problème est précisément de profiter de cette circonstance pour réduire le Tableau à sa plus simple expression. Dans ma seconde méthode, la réduction se fait par une série d'opérations toutes pareilles entre elles.

,1e profitai des avantages de ces deux méthodes pour généraliser les deux théorèmes de M. Weierstrass et les étendre au cas de la r('duction des intégrales abélicnnes à d'autres intégrales abéliennes.

Le théorème de M. Weierstrass était plus général en un sens que le théorème de !M. Picard sur le même sujet: ce dernier ne s'appliquait en ellet qu'a la réduction du genre 2 au genre i : le géomètre allemand avait étudié la réduction d'un genre 0 quelconque au genre i . D'autir part, le théorème de M. Picard contenait plus que celui de M. Weierstrass car la réduction y était jiousséo plus loin. Etait-il possible de trouver une proposition qui contînt à la fois celle de M. Weierstrass et celle de M. Picard, c'est-à-dire de pousser dans le cas général la réduction aussi loin que ce dernier analyste? L'application de ma seconde méthode m'a fait reconnaître [62, 8-4] que cela peut se faire sans difficulté.

Le même procédé me permit en même temps d'éludier le cas général ( réduction d'un genre p quelconque, non plus au genre 1, mais à un genre p. également quelconque) et de pousser la réduction beaucoup plus loin que je ne l'avais fait dans mon premier travail. IjC théorème auquel je fus ainsi conduit contient, comme cas particulier, toutes les propositions aulérieurement découvertes et résuiuo ainsi toute la théorie.

Un cas particulier bien digne d'intérêt est celui où une infinité d'intégrales

FONCTIONS ABÉLIENNES. agS

(l'ua iiiêine système se réduiscnl aux intégrales elliptiques. I\[. Picarci en avait déjà rencontré deux exemples, et il seiublait probable que, dans un système d'intéi;rales de genre o, il ne pouvait v avoir plus de o intégrales réductibles sans qu'il y en eût une infinité. J'ai démontré [50, 84] qu'il en était effectivement ainsi et j'ai trouvé en même temps les relations fort simples qui unissent entre elles les intégrales réductibles.

Les méthodes que je viens d'exposer permettent une classification rationnelle des cas de réduction. Mais cette classification, à côté d'incontestables avantages, présente un inconvénient grave; elle ne distingue pas du cas général les cas particuliers où les intégrales abéliennes à réduire appartiennent à une courbe algébrique. Ces derniers ne présentent pas d'intérêt spécial au point de vue de la théorie des fonctions abéliennes; mais ils en ont un fort grand, au contraire, si l'on se propose pour but l'étude des fonctions algébriques. Il importait donc do trouver une classification nouvelle, ne portant que sur ces cas particuliers et laissant de côté tous les autres. J'ai indiqué [59J un moyen d'arriver à ce résultat par l'élude de la transformation des fonctions fuchsiennnes; mais je n'ai pas eu le temps d'approfondir celle théorie.

L'étude systématique des fonctions abéliennes devait naturellement commencer par l'esamen des cas de réduction, la suite de cet exposé le fera suffisamment comprendre; mais ce n'était qu'un premier pas, et bien d'autres problèmes restaient à résoudre.

On vient de voir que les fonctions 0, définies à l'aide des intégrations abéliennes de première espèce, ne sont que des cas très particuliers des séries 0 les plus générales.

Qu'est-ce qui caractérise les fonctions 0 spéciales, c'est-à-dire celles qui doivent leur origine aux intégrales abéliennes? Qu'est-ce qui permet de les distinguer parmi les fonctions 0 les plus générales ? C'est la circonstance suivante, la variété

est pour employer le langage de Lie, une variété doublement de translation. C'est ce qu'on aurait pu déduire aisément des recherches antérieures de Lie. Mais je suis parvenu au même résultat [150, 194] par une voie entièrement difll'érente. Cette condition peut évidemment s'exprimer par une relation entre les périodes, mais cette relation esl transcendante el ne peut s'exprimer que sous une forme de série. Je me suis l)orné à indiquer les premiers termes de

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celle série, je veux dire ceux qui sonl le plus sensibles quand la fonclion 0 diffère peu dun produit de fonctions elliptiques. Lu forme en est curieuse, car il V entre des radicaux. On peut concevoir une infinité de fonctions de n variables, admellant 2« systèmes de périodes et ne rentrant pas dans la catégorie spécialement étudiée par Rieniann. Ces fonctions peuvent-elles être toujours regardées comme le quotient de deux fonctions 0? Riemann était parvenu à le démontrer, mais il n'a jamais publié sa démonstration. M. Weierstrass a retrouvé le même résultat, mais il n'a pas publié non plus de son vivant la méthode dont il s'est servi.

Abordant l'étude de ces fonctions, que je n'assujettissais qu'à la condition d'être périodiques [ 12], je reconnus qu'on pouvait toujours les tirer des fonctions abéliennes ordinaires, obtenues par la méthode d'inversion de Jacobi, en appliquant le procédé de la réduction des intégrales abéliennes.

Dans ces conditions, nous devions naturellement songer, M. Picard et moi, à unir nos efl'orts pour retrouver le résultat de Riemann. Nous reconnûmes [41] qu'il devait y avoir entre les périodes les mêmes relations que dans le cas particulier des fonctions nées de l'inversion des intégrales abéliennes. Il était aisé d'en conclure que toutes les fonctions à n variables et à Q.n périodes s'expriment par le moyen des séries 0.

La méthode que je viens d'exposer est celle même dont s'était servi M. Weierstrass et qu'il n'avait pas publiée; c'est ce que nous reconnûmes quand après la mort du savant géomètre, nous reçiimes les bonnes feuilles du troisième volume de ses œuvres complètes.

Il n'y avait rpie quelques différences de détail; c'est ainsi que j'ai employé un moyen un peu différent pour démontrer \\n lemme indispensable, d'après lequel il y a toujours une relation algébrique entre p fonctions à p variables et à 2/j périodes. J'y suis revenu plus tard [ 16!!].

Revenons au théurème dont j'avais (lonu('' une démonstration, après M. Weierstrass et en commun avec .M. Picard. Depuis M. Appell en a donné une nouvelle, fondée sur de tous autres principes et j'en ai moi-même donné une troisième, entièrement différente des deux premières [109, 190]. Je rappelle par quel artifice j'ai démontré qu'une fonction méromorphe de plusieurs variables est toujours le quotient de deux fonctions entières {vide supré^^VW). Quelle est la nature de ces fonctions entières? Ix's perfectionnements apportés [190] k ma démonstration primitive m'ont permis de résoudre cette question, et de faire voir directement que si la fonction méromorphe est pério-

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clique, ces deux tonctions entières sout des fonctions périodiques. Je nie bornerai à dire que la dénionslralion présente quelques analogies avec celle par laquelle Weierstrass établit qu'il existe uue fonction entière de genre 2 qui admet tous les zéros d'une fonction elliptique.

L'existence de ces fonctions périodiques, en face desquelles le procédé de l'inversion est impuissant, fait mieux ressortir la nécessité où nous nous trouvons d'établir la théorie des fondions abéliennes en partant des séries 0 ellesmêmes. On sait qu'il est possible de fonder sur l'étude directe des fonctions 0 à une seule variable toute la théorie des fonctions elliptiques; le point de départ est ce fait que l'équation

n'a qu'une seule racine à l'intérieur du parallélogramme des périodes. De là l'importance du problème suivant, dont la solution [86, 12] doit évidemment précéder toute étude directe des séries 0 à plusieurs variables. Combien les équations simultanées

(I) 81 ,/■, — 0|, ./-o tli /■„— «„ )

= B(x, — èi, .Cï — 62, r„ — bii) =. . .= e(.r, — /,, j-n — /.;. .... .r„ — /„) = o,

où les a, les h, . . ., li!s / sont des constantes données, ont-elles de solutions distinctes? A l'aide d'une formule de M. Kronecker, j'ai pu démontrer que ce nombre est constant et indépendant des périodes, ainsi que des constantes a, b, ...,/. Il me fut facile ensuite, en envisageant le cas particulier où la fonction 0 se réduit à un produit de ii fonctions 0 elliptiques, de démontrer que ce nombre est précisément r . 2 . ,1 . . . « .

J'appliquai aussi la mcine méthode à des équations analogues aux équations (i), mais plus compliquées, et je trouvai le nombre des solutions distinctes qu'elles doivent avoir.

Mais il y a plus; dans le cas des fonctions elliptiques, on trouve aisément la valeur de la racine de l'équation

Si l'on a affaire à des équations analogues, mais plus compliquées, on peut encore trouver la somme des racines.

Revenant aux fonctions abéliennes et aux équations (i), on peut alors se demander [55, 8i] s'il est possible de trouver la somme des valeurs de x,. celle des valeurs de x^, etc., qui satisfont à ces équations. Ce problème est

agC FONCTIONS ABÉLIENNES.

plus compliqué que le précédent, dans lequel le nombre cherché était une constante; cette circonstance permettait de se restreindre à un cas particulier, et l'on était ainsi immédiatement ramené aux fonctions elliptiques. Il n'en est plus de même ici; les nombres cherchés ne sont plus des constantes, mais des fonctions des périodes.

Toutefois le problème est immédiatement résolu quand on est ramené aux fonctions elliptiques, c'est-à-dire quand on se trouve dans un des cas de réduction étudiés plus haut. Quand, dans le système d'intégrales abéliennes de genre n qui correspondent aux fonctions envisagées, il y a n intégrales distinctes réductibles aux intégrales elliptiques, il est aisé de voir que les fonctions 0 abéliennes s'expriment très simplement à l'aide de fonctions 0 elliptiques. On peut alors, par l'application du théorème d'Abel généralisé (c/. § VI1[) résoudre complètement le problème qui nous occupe.

Le système des périodes d'une fonction 0 quelconque diffère toujours infiniment peu d'un système de périodes correspondant à un cas de réduction. C'est là une circonstance qui donnera, je n'en doute pas, la clef de bien des problèmes. Elle nous donne en particulier la solution que nous cherchons.

Nous connaissons la somme cherchée des valeurs de x toutes les fois que nous nous trouvons dans un cas de réduction. Or celte somme doit être une fonction continue des périodes; nous la connaîtrons donc dans Cous les cas possibles. C'est ainsi que, si l'on connaît une fonction continue de x pour toutes les valeurs commensural)les de la variable, on la connaîtra également pour toutes les valeurs incommensurables.

On peut encore se placer à un autre point de vue pour étudier les zéros des fonctions 0. Considérons une fonction 0 de deux variables &{x, y). Soient (o£, (3), (y, o) deux périodes de celle fouctiou. Ecrivons l'équation

où < et w sont des nombres assujettis à rester réels et compris entre o et i. Celte équation ainsi interprétée admettra un certain nombre de solutions. Je serai conduit, par des considérations qui ne sauraient trouver place ici, à les distinguer en deux espèces. Soient alors N, le nombre des solutions de la première espèce, Ti la somme des valeurs correspondantes de t, U( celle des valeurs de u. Soient N^, T., et Uo les quantités analogues en ce qui concerne les solutions de la seconde espèce. On peut se proposer de déterminer les nombres Nj — N,, T, -T,. U, — U,.

Je suis parveuu par une inélliode assez simple [^>.^>] à iJéleniiiner N| — Nj. On obtient ainsi divers renseignements importants au sujet du nombre total des solutions Ni -h Nn. Ce nombre est en eflet toujours supérieur à Ni — No et il est de même parité.

On peut arriver au même résultat par l'emploi des intégrales doubles prises entre des limites imaginaires. J'ai lieu d'espérer de plus que la même considération pourra conduire à la valeur de T, — T.j et de Ui — U^.

Enfin on peut se poser encore la question d'une autre manière. Soit une fonction 0 spéciale de p variables engendrée par une courbe algébrique de genre p

Soient î/i(x, y), «j(x, r), . . ., Ui.i^x. y) les p intégrales abéliennes de première espèce. J'écrirai pour abréger 0(r,) pour

efPi, v-i. ..., Vp) [el (/,(.;•) pour Ui[x,y)\,

et je considérerai />(/ constantes e,-,/. où l'indice i varie de i ix p el l'indice A- de i à q. J'envisage alors les q équations

Q[Ui(xC) + «,(0:2) -I-. . .-t- Ui{x,j) — e/,i] = o, %[ui{Xi)-^- Ui(Xi) + . . .+ ui{x,i) — e,^2] = o,

Q[ui(Xi) -+- Ui{x-i)+. . .H- Ui{x,,) — ei,,i] = o,

o(\ Xi, Xn- ■ ■ ■ , Xp sont les inconnues. Combien ces équations ont-elles de solutions? C'est le problème que j'ai résolu par une formule simple [194], le cas de ç = p se réduisant à celui que j'ai traité plus haut, tandis que le cas de (7 = i n'est autre que celui de Riemann.

FONCTIONS ABELIENNES

BIBLIOGHAPHIE SPÉCIALE AUX FONCTIOXS ABELIENNES.

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[.'iO](') Sur la réduction des intéi;rales abéliennes (C. /?. Acad. Se, t. 9'.l, iS8(, p. 853-855).

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f6:5](-) Sur la réduction des intégrales abéliennes {C . R. Acad. Se, t. 102, 1886, p. 9i5-9i()).

[8i] Sur les fonctions abéliennes (American .Journnl nf matli.. 1. 8, iSSC), p. 289- 34'). '

[8C] Sur les fonctious 0 (liull. Soc. matli. I rance. t. II, i8S3, p. r'9-134).

fSS](') Sur la réduction des intéf;ral<:s abéliennes {Bull. .Société math. France, t. 1-2, 1S8I. p. i:'4-i43).

[l-i8](M Sur les transformations biralionnelles des courbes algébriques {C . H. Acad. Se, t. 117, 1893, p. I8--.3).

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[li)0]('). Les propriétés du potentiel et les fonctions abéliennes (Acta math., t. 22, 1898, p. 89-178).

[I'.)'i] Bcmiirques di\eiscs sur les fonctions abéliennes (J. math., t. 1, 1895, p. 'uj-

[313] Sur les fonctions abéliennes i Acta math., t. 26, igo'', p. 43-98).

(') A été inséré l'unie III, p. 302-354. (-) A été inséré Tome III, p. 36o-36i. (^) .\ été inséré Tome III, p. 333-35i. (') Sera inséré Tome AI.

(') Inséré ci-dessus, 1G2.

SUR LES FONCTIONS ABÉLŒNNES

Comptes rendus de l'Aradémie des Sciences, t. 92, p. ySS-gôg (i8 avril iSSi).

Première remarque. — \.tis p équations

/ e(x,^ Ài4, a:-.^ '/..,, i.

1 e(x,-i- }.,,,, Xi-t- À2,2, ••■

[ e(xi-^ À,./., j-i-h'/.î,,,

ont i X 2. X '5 X . . .X p solutions communes, outre celles qu'on en déduit par l'addition des périodes. Elles ne sont jamais impossibles. De plus, en général. on ne peut choisir les ). de telle façon qu'elles cessent d'être distinctes. En supposant que la fonction 0 considérée doit son origine à un système d'intégrales abéliennes, je montre à quelle condition on pourra choisir les /. de telle façon que les équations (i) cessent d'être distinctes.

Deuxième remarque. — M. Picard, dans deux Notes du 21 février et du 7 mars, a montré que les fonctions abéliennes se ramènent, dans certains cas, aux fonctions ellepliques; de même les fonctions abéliennes peuvent, dans certains cas, se ramener à des fonctions abéliennes d'un moins grand nombre de variables. C'est ce qui donne l'explication d'une anomalie que j'avais remarquée.

Une fonction 0 de p variables dépend de — -paramétres qui sont les

périodes x;/,. Or une relation de genre/?,

peut être supposée de degré/> + i (Glebsch etGordan, Théorie der Abelschen Functionen). Elle dépend alors seulement de ^p + 2 paramètres.

3oo FONCTIONS ABÉLIENNES.

Supposons dune que, clioisissant arbilrairement les — — paramètres a,/,,

on forme une fonction 0, que j'appelle 0i, et avec elle/» fondions abéliennes à 2jD périodes

Les équations

F,= ,/, Fo= F, = ...= F/,= o

définissent .r, en fonction de u; on aura