z(ll. !■) r/ll

o étant rationnel en u et v, et v étant lié à u par une relation algébrique

Cette relation ne sera pas. en général, du genre p, puisqu'une relation algébrique du genre/) dépend de moins de —^ paramètres. Si donc on forme,

par les procécés connus, le systéine d'intégrales abéliennes de première espèce qui correspondent à la relation (2), puis la fonction 0 correspondante, cette fonction 0 aura plus de p variables, et pourtant elle devra se ramener à la fonction 0i, qui n'en a que p. On voit donc là un des exemples de ces réductions, qui ont été étudiées par M. Picard.

Troisième remarque. — Soit

F((/|, (/; Il,,)

une fonction abélienne à p variables et 2/) périodes. M. Appell substitue à la place de h, l'intégrale abélienne u"^(x, y), et il arrive à ramener la fonction F à une fonction d'une seule variable. Cette fonction se décompose alors en éléments simples de la forme

A-^LerH'')(x, i-)-i-r,,i.

Bornons-nous au cas de deux variables; le résultat de M. Appell est susceptible d'être présenté sous une autre forme et en même temps d'être généralisé. Envisageons la fonction abélienne

Fi u,. u.),

FONCTIONS ABÉLIENNES. 3oi

et supposons que Ui cl Wj soient liés par la relation

F se décompose alors en éléments simples, qui sont de la forme

A -^Le((;i — G,, «..-+- G..) ou \'-^ LB(iii~ G',. u-,-\- G'.,).

en supposant qu'il n'y ail pas d'infini multiple.

Ce résultat n'est pas susceptible de généralisation dans le cas où il > a plus de deux variables.

SDR LES FONCTIONS h

Bulletin de la Soriété Malhéniatique de France^ t. Il, p. 129-134 (20 juillet iSS3).

Considérons une lonclion 0 à « variables

œ représentant une forme quadratique par rapport aux n nombres entiers ;«,, in-xi ■ ■ -, m,,- Considérons ensuite n- constantes quelconques

"11- "12. ..-, ai,/,

"21, 'l-iU ■■■, a-lin «/,;, «ni- ■■■• "lin-

Si nous écrivons, pour abréger,

H ( .r, — (lu) = H ( ./• I — r/ 1 1 , .r^ — ,? 1 .^ , r„ — rt, „ ),

et que niius considérions les n équations simultanées

(i) ^( x, — n\,\ = %i Xi — «2, )=...= e( j;, — a,i{) = o.

on pou! se demander comjjien ces équations ont de systèmes de solutions communes. Je ne considère pas, bien entendu, comme dislincles les solutions congrueutes, cesl-à-dirc celles qui ne dilTérent entre elles que par des multiples des périodes.

Le problème est résolu dans le cas de « :^ 1 , c'csi-à-dire dans le cas particulier des ('(inclKins elliplicjues ; mais je ne crois pas qu'il le soil encore dans le cas général des fonctions abéliennes.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 3o3

Dans le cas des fonctions elliptiques, la forme cp se réduit à un seul terme

cl la fonction 0 à la série Vgjt.mi+m.r,

Les équations (i) se réduisent à réqualion unique

(■>.) e(i-, — an » = <>,

et cette équation n'admet qu'une solution.

Pour le démontrer, on se sert de la formule de Caucliv qui sert à calculer le nombre des racines d'une équation qui sont intérieures à un contour donné, et l'on applique celte formule au parallélogramme des périodes.

Depuis, M. Ivronecker a généralisé la formule de Cauchy de manière à exprimer sous la forme d'une intégrale multiple définie le nombre des solutions communes à un système de n équations à n inconnues, lorsqu'on assujettit ces solutions à être comprises dans un domaine donné.

Malheureusement celte formule ne se prêle pas comme on pourrait le croire au premier abord, à la généralisation immédiate de l'analyse qui donne le nombre des solutions de l'équation [2).

En revanche, elle peut nous conduire indirectement à la solution du problème qui nous occupe. En effet, le nombre cherché des solutions des équations ( i) ne pourrait dépendre que des périodes, c'est-à-dire des coefficients de la forme quadratique ç>, et je vais démontrer qu'il en est indépendant. Pour obtenir le nombre des solutions distinctes des équations (1), il faut chercher le nombre des solutions comprises dans le piismatoïde des périodes, pour nous servir d'une expression qu'à employée, pour la première fois, l'illustre géomètre de Berlin que nous citons en ce momeal (Comptes rendus : Des unîtes complexes, i883). C'est donc à ce prismaloïde qu'il faut appliquer l'intégrale de M. Kroneclier. Je dis que celte intégrale qui nous donne le nombre cherché est indépendante des coefficients de 9.

En elTel, considérons dune manière générale l'inii'grale de M. Ivronecker, appliquée à un système d équations quelconque et à un domaine quelconque, et supposons que ces équations dépendent de certains paramétres variables. L'intégrale no pourra cesser d'être une fond ion continue de ces paramétres que

si l'expression sous le signe / devient infinie pour un jioinl de la pi''rlpli(''ric du

domaine considéré. Or cela ne peut arriver que si une des solutions du svstéme

3o4 FONCTIONS ABÉLIENNES.

d'équatlous données se trouve sur celle périphérie. Mais noire inlégrale représenle un nombre positif essentiellement entier, de sorte que, toutes les fois qu'elle sera une fonction continue des paramètres envisagés, elle sera constante. Ainsi l'intégrale ne peut varier que si une solution entre dans le domaine ou si elle en sort.

Mais, dans le cas particulier qui nous occupe, en admettant qu'une solution sorte du prismaloïde des périodes, il faudra, en vertu de la périodicité même, qu'une autre solution y entre a\i même instant, de sorte que l'intégrale do M. Kronecker ne peut jamais varier.

Il suffira donc de résoudre le problème dans un cas particulier pour l'avoir résolu dans le cas général. Or cela est aisé, car nous n'avons qu'à supposer

o = -j-i m'i -+- y., ml -+- . ■+- a„ m},

et, en posant alors

on aura

de sorte que la fonction 0 se réduira à un |iroduitdc fonctions 0 elliptiques.

Les équations (i) se ramènent alors à un certain nombre d'équations de la forme (2), et il est aisé de voir qu'elles admelleut n ! solutions distinctes. Ainsi, si le nombre des variables est égal successivement à 1 , 2, 3, 4- . . . , le nombre des solutions des équations (i) sera de 1, 2, 6, 24, ....

Une autre applicali(ui du même principe va maintenant nous permettre de résoudre un problème un peu plus général.

Considérons un système de nxp x k constantes que nous désignerons par la notation

l'indice i variant depuis 1 jusqu'à/», l'indice y depuis i jusqu'à n. et l'indice h depuis I jusqu'à /.". Supposons que l'on ait entre ces quantités les relations suivantes :

et cela quel que soit l'indice y.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 3o'J

Soient de plus A,, Ao, . . ., A^, /•■ conslantos loul à fail quelconques, et posons

II =2 A/. 17 0(-^/- a,//.)-

Nous dirons que H esl une fonction lioniogène et de degré /;. Cela posé, envisageons n fonctions homogènes

respectivement de degré jD|, p,, . . . , /;„.

Quel est le nombre des systèmes de valeurs des x qui annulent à la fois ces n fonctions? Le même raisonnement que nous venons de faire montre que ce nombre est coustanl et indépendant, par exemple, des quantités A/,.

( )r, dans le cas où les fonctions H se réduisent à des produits de fonctions 0. ce nombre est égal à

Tel est donc le nombre clierclié.

Il est à remarquer qu'il peut arriver que les n équaloins

H, = Hi = ... U„ = o

ne soient pas distinctes, c'est-à-dire qu'elles aient, outre un nombre de solutions communes isolées, toujours inférieures à l'expression (.3), une infinité de solutions communes non isolées les unes des autres.

C'est en particulier ce qui arrive dans le problème de l'inversion de Jacobi, tel qu'on le truite ordinairement.

Demandons-nous maintenant combien il y a de fonctions

qui s'annulent pour n systèmes donnés de valeurs de x,-. Je représenterai ces n systèmes par la notation

Xi = bit ( f = 1 , 2, . . . , n ; A- = I , i, ..., n).

Nous aurons alors à résoudre les « équations

(4) e(/^, - a,) = e(6;,-ro) =. . . = e(/.,„- «,) = o

par rapport aux «;.

H. P. - IV. 3y

3o6 FONCTIONS ABÉLIENNES.

Ces équations, d'après ce qui précède ont n\ solutions communes. Il existe

donc ni fonctions 0 qui s'annulent pour /i systèmes donnés de valeurs des x.

Si « > 2, on a

Il en résulte que les «I solutions communes des équations (i) ne sont pas indépendantes et qu'il 3' a entre elles ni — n relations La connaissance de n d'entre elles suffit pour faire connaître les autres.

Mais, pour se rendre compte de la complication des relations envisagées, il suffit de chercher quel est le nombre des sj'stèmes de n! — n solutions complémentaires qui correspondent à un même système de n solutions données.

On pourra construire ni fonctions 0 qui s'annuleront pour les n solutions données; on en choisira n quelconques; ce choix pourra se faire de

manières. A chacune des combinaisons de n fonctions 0 correspondra un système de ni — n solutions complémentaires. Le nombre de ces systèmes sera donc donné par l'expression (5).

Ce nombre croît très rapidement; pour « = 3,4,5)6, . . . , on aura successivement

N = 20, N = 10G26, N>io8, N>ioi'.