SUR UN THEOREME DE RIEMANN
KELVTIF AUX FONCTIONS DE n VARIABLES INDÉPENDANTES ADMETTANT 2« SYSTÈMES DE PÉRIODES
(lîN COL[,ABORATION AVEC. EMILE PICARD)
Comptes rendus de l'Académie des Sriences, 1. 'J7, p. 128^1287 (3 décembre iS83).
Les fonctions 0 de n variables indépendanles pcrnieltenl, comme on sait, de
former des fonctions uniformes de n variables avec 2/1 systèmes de périodes.
/ 1 , • 1 1 ■ • 11 • /' . ii( » — ' ) 1 . • I • Les périodes ne sont pas arbitraires, car elles satistonl a relations bien
connues. Dans une conversation avec ]\I. Hermile, lors de son voyage à Paris, en 1860, Riemann avait affirmé que ces relations devaient nécessairement exister entre les 211 systèmes de périodes de fonction uniforme de n variables, 2/1 fois périodique ('), tout au moins après une transformation de degré convenable effectuée sur ces périodes, mais il n'a jamais indiqué la marclie qui l'a conduite cette importante proposition. M. Weierstrass aurait depuis annoncé àquelquesuns de ses élèves qu'il possédait une démonstration du théorème précédent, mais l'illustre géomètre de Berlin n'a jamais, à notre connaissance, publié ni indiqué la méthode dcmt il a fait usage.
La proposition énoncée peut se démontrer aisément à l'aide des considérations suivantes. Soit
Wl.l, f>l,2, • • • Wi,2/o
W.!,l, Wo 2, . . . 0)2,2/,,
W„,ll ")„ 2, . . . 0J„,2„
(') M. Hermile a énoncé, d'après Kiemann, ce tlicoréme. dans une Note faisant suite à la sixième édition du Tryité de Lacroix.
3o8 UN THÉORÈME DE RIEMANN.
un système irréductible de 2« périodes simultanées des n variables indépendantes :ci, ar2, ...,Xn- On sait, d'après M. Weierslrass (yl/o«n<i6er«c/(f, 1862), qu'entre (rt + i) fonctions 2« fois périodiques de «variables, existe une relation algébrique; soit, en désignant ces fonctions par u^. u-i, . . ., Un+i,
f(u,, II2, .... M„-i-l) = O,
et l'on peut choisir (/i + i) fonctions, de telle sorte que toute autre fonction admettant les mêmes périodes s'exprime rationnellement à l'aide de Ui, 11^,
Cela posé, on établit que les fondions u,, u.j. . . ., u„ satisfont au système d'équations aux diliéreulielles totales
i/x„ = P„,,c/u, — P„.2 r/u2 -i- . . . -H P„,„ (ài„,
où les V sont fonctions rationnelles de u,, u-i, . . ., u,i+\-
Xt, x-2, . . . , x„ sont donc des intégrales de dillérentielles totales algébriques admellant le système des périodes ( i ). Posons maintenant
H,= =,(0, 11-1= -■>{(), ■■■. u„=a„it),
les 'j étant des fonctions rationnelles, absolument arbitraires, d'une variable t; Xi, X2, . . ., x,t deviendront des fonctions X,, Xo, . . ., X„ delà seule variable ;, et ce seront des intégrales abéliennes de première espèce correspondant à la relation algébrique entre t et ?<„+).
/(91, rî ?'n "/1-+-1) = o.
On remar(iuera d'abord que ces « intégrales seront linéairement indépendantes, si les 9 sont pris d'une manière arbitraire; on voit ensuite que chaque système de périodes correspondantes des intégrales X, , X,, . . . , X„ sera nécessairement de la forme
mio)]i -i- »!2 coi a-H . . . -+- 'Mî/,w 1.210
7«l(02 I -I- «iîlO» 2-1-. . . -i- «îî,|0)« o„.
m 1 0),,., -H llliMa.i-
UN THÉORÈME DE RIEMANN. 3og
OÙ les m seul dos entiers. En écrivant la relation entre les périodes de deux intégrales quelconques X^t et X3, on aura donc
/ = ? « l- ^ s /( (2) ^ ^ c,-,<.0Ja,iW;^,i. = 0,
les c étant des entiers indépendants de a et [3, et l'on a de plus c,-,i^o, c.-,* = — -c<-,,.
Le déterminant [ Ci,/, j d'ordre 2/z, qui est un déterminant gauche, sera un carré parfait m'-.
Admettons pour un instant que m ne soit pas nul ; on établira sans peine qu'en eflectuant sur les périodes 00 une transformation d'ordre m, c'est-à-dire en remplaçant les périodes « par des périodes il qui en soient des fonctions linéaires à coefficients entiers de déterminant égal à m, la relation entre les périodes de Xœ et X3 devient, quels que soient x et (3,
et cette égalité établit le théorème de Riemann.
Nous avons maintenant à montrer que m ne peut être nul; nous noiis appuierons pour cela sur la remarque suivante, qui résulte immédiatement d'un théorème fondamental de Riemann. Si l'on pose
Wi./= Ax,,-!- Ba.i v' — I,
la somme
est certainement différente de zéro. Cela admis, nous démontrons que, si le déterminant | c,,/,- 1 =: o, on peut, par une transformation de degré convenable, remplacer le système des w par un système de Î2, la relation (2) par
aï.iQa.î— Qï,.Q3,i-H. . . + Ûa.5,-iQ?,s,-— Qa,;,-Q3,s,-i= o,
où r est moindre que n. De plus, puisque r est moindre que /*, on peut, en considérant une combinaison linéaire convenable de Xi, X.j, . . . , Xn (laquelle ne peut être identiquement nulle, puisque les Xsont linéairementindépendants), supposer, en gardant les mêmes notations, que
3lo UN THÉORÈME DE RIEMANN.
mais, d'après h\ remarque précédente, si l'on pose
la somme
A, n,— AîB, -H AjBv— AvBa-f-. . .-I- A.,-, B,, — Ao,li.,,
n'est pas nulle, ce qui nous amène à une contradiction, puisque, ici,
A,= B| = 0, A3=B:i=0, ..., Ao, — ! = Bjr— 1 = o.
Le déterminant ne peut donc être nul, et la démonstration est complète.
()n déduit immédiatement du théorème qui vient d'être établi celle conséquence bien digne d'intérêt : toute fonction 2 n fois périodique de n variables indépendantes peut être exprimée au moyen des fonctions 0.
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 100, p. 7S5-7S7 (i(i mars i88.i).
Dans une Communication que j'ai eu l'honneur de faire à l'Acadc^mie, le 18 avril i<S8i , et dans un travail plus étendu, inséré au Tome XI du Ihilletin de la Société mathématique de France, j'ai donné une formule pour déterminer le nombre des zéros communs à /; fonctions 0 à yj variables (').
Appelons fonction 0 d'ordre m une fonction entière de p variables x^, Xj, . . ., Xp qui ne change pas quand on augmente ces variables d'uue des p premières périodes et qui se multiplie respectivement par les facteurs
quand les variables augmentent d'une des/) dernières périodes. Les quantités ( 1 ) s'appelleront les multiplicateurs.
Si l'on considère p fonctions 0|, 02, . . . , 0^^ d'ordres Wi, m^, . . ., n?,,, les équations
admettront
N = yO ! »li »>t. . -'Il p
solutions distinctes (c'est-à-dire non congruentes).
Soient X, la somme des N valeurs de r,, Xo la somme des N valeurs de 70, . . . , jip la somme des N valeurs de X/, qui satisfont à ces p équations. Il y a moyen de calculer X,-.
(') Voir ce Tome IV, p. 2ycj et 3o3.
3i2 FONCTIONS ABELIENNES.
Soil
g—"'.'» + 2,1 In A''™'' mulliplicateur de la fonction 0;. On trouvera
F, étant un polynôme du premier degré par rapport aux ô,* et dont les coefficients dépendent des quantités m,, /«•>, . . . , m,, et des périodes. F; sera aussi un polynôme du premier degré par rapport à chacune des quantités m considérées séparément et par rapport aux périodes.
Supposons /) = 2 pour fixer les idées; appelons les périodes, pour plus de symétrie,
ai, rtn, «;;, «v,
Envisageons, toujours pour la symétrie, au lieu des fonclions 0, des fonctions o plus générales, analogues aux fonctions intermédiaires de MM. Briot et Bouquet, et définies par les quatre identités
!f(x,-hai, Xi-hbi)= 9(j;], a;;) e"i'i ^Pi-^'s *'Ti («' = '> a, 3, 4)-
Posons ensuite
S,-= Yi— (a,f/;+ [iibi),
Miy= ",a/— "/«i-f- bip/— b/^i, l'i = fljSi — «1 S:: -t- <Ti Oj — iiiô\, T; = 63 3 1 — il 03 -4- 61 5i — ijOi.
[>es quantités M et F peuvent être regardées comme des invariants, c'est-à-dire qu'elles ne changent pas quand on mulliplie la fonction cp par une exponentielle
g'/, .r' + 2 (1 .IV -1- V v' + li.r r /, 1
On devra avoir
/rt étant l'ordre de la fonction 9. Il ne peut y avoir de fonctions intermédiaires, où les invariants M auraient d'autres valeurs que celles qui résultent de l'identité (2), si ce n'est dans les cas de réduction des périodes étudiées par M. Picard.
Considérons maintenant deux fonctions intermédiaires 9 et 9', et appelons
FONCTIONS ABÉLIENNES. 3l3
m', a', ;3', o', r les quanlilés analogues à m, a. |3, o, T et relatives à la seconde fonction cp'. Les équations
auront 2a?iw' solutions distinctes, et les sommes Xi et Xo des 2mm' valeurs de X, et des 2mm' valeurs de x-,, qui satisfont à ces équations, seront données par les congruences
Xi = :— ( l'i /"' -H r'i m ),
