ET LA

RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENiNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 102, p. 4i-4'4 (4 janvier i8S6).

Soient X Ql y deux variables liées par une relation algébrique

de genre/?; posons

/et /"i étant rationnels. On en déduira entre x' et j' une relation algébrique

qui sera, en général, de genre gf >/». ( )n voit ainsi comment, par une opération algébrique, une courbe de genre q peut se réduire au genre />. En même temps, les fonctions abéliennes de rang q, engendrées par la courbe (3), peuvent se réduire à des fonctions de rang/».

La réduction des fonctions abéliennes a été l'objet de travaux fort nombreux, parmi lesquels les plus approfondis sont ceux de MM. Weierstrass et Picard. J'ai donné moi-même, à ce sujet, un théorème, d'après lequel, quand il y a réduction, on peut, par une Iransfcjrnialion d'ordre k, changer la fonction 0 à réduire en un produit de fonctions 0, d'un moindre nombre de variables. L'entier A' est alors le nombre caractéristique de la réduction.

Ce théorème fournit une classification très simple des cas de réduction, qui

FONCTIONS FUCHSIENNES ET INTÉGRALES ABÉLIENNES. 3l5

peut êlre utile pour divers objets, mais qui oflrc l'inconvénient grave de ne pas distinguer des autres les cas où la réduction des fonctions abéliennes est accompagnée de la réduction du genre d'une courbe algébrique.

On sait, en effet, que tous les systèmes de fonctions abéliennes ne sont pas engendrés par une courbe algébrique; et, quand on appliquera la réduction à des fonctions engendrées de cette façon, il n'arrivera pas toujours que les fonctions réduites soient susceptibles du même mode de génération. Nous avons démontré, au contraire, M. Picard et moi, qu'un système quelconque de fonctions abéliennes peut être déduit par réduction d'un système analogue, engendré par une courbe algébrique.

On peut éviter cet inconvénient, en prenant pour point de départ d'une classification des cas de réduction la théorie de la transformation des fonctions fuchsiennes. ( )n peut se proposer, étant donné un groupe fucbsien, de trouver les sous-groupes fuchsiens qui y sont contenus, et cette étude présente avec la transformation des fonctions elliptiques une analogie sur laquelle il est inutile d'insister.

Avant d'aller plus loin, revenons aux équations (i) et (a) et observons que a"' et j)'' seront, en général, des fonctions non uniformes de x et de i; mais que ces fonctions peuvent cependant êlre inramifiées (um'erzweigt), c'est-à-dire que. quand x et >• décrivent des contours fermés infiniment petits, x' et y' reviennent à la même valeur.

Comme premier résultat, on peut montrer que, si x' et )' sont des fonctions inramifiées. et si /7 ^ i . on devra avoir aussi q z= \ . de telle sorte que la réduction au genre i par des fonctions inramifiées est impossible. .Si/j = 7 = i, le problème de la réduction se ramène simplement à celui de In transformation des fonctions elliptiques.

Je me bornerai, pour le moment, à citer quelques exemples. Je numéroterai les côtés du polvgone générateur de mon groupe fucbsien, en suivant son périmélre dans le sens positif, et j'exprimerai la loi de conjugaison des côtés par la notation suivante : (a, b\ c. d\ . . .). ce qui voudra dire que le côté numéroté a est conjugué du côté b. le côté c du côté d, etc. L'angle des deux côtés a et 6 sera désigné par la notation a.b; la substitution qui change le côté a dans le côté conjugué b, parla notation S (a, 6); le polygone fondamental s'appellera P. et son transformé par la substitution S(a, è) s'appellera PS(rt, è). J'appellerai q. p et k. le genre avant réduction, le genre après réduction et le nombre caractéristique de la réduction.

3l6 FONCTIONS FUCHSIENNES ET INTEGRALES ABELIENNES.

Le polygone Q générateur du sous-groupe envisagé se composera du polygone P et d'un certain nombre de ses transformées; le côte numéroté i sera le même dans P et dans Q.

Exemple I. — P est un hexagone avec la loi de conjugaison

5.6 = 7r, la somme des autres angles est égale à tt. Nous prendrons