I. — Réduction des intégrales

J'ai donné dans le Bulletin de la Société mathématique de France (t. 12, p. 124) (') une dc'monsLralion el une généralisalion de deux théorèmes de M. Weierslrass. ,1e veux d'abord rappeler ici succiuclement, en y ajoutant quelques compléments, ce qu'il j a d'essentiel dans cette démonstration.

Soient J|, J.j, . . . , ir,, p intégrales abéliennes de rang p.

Soient

un système de périodes normales de Ji ;

yu y-2, .-., 7p: j'i, y-2, ■■■, y'p les péi'iodes correspondantes de J.,;

Il, t-i, . , . , tç,\ l, , t.,, . . . , tp

les périodes correspondantes de J^;

et enfin

Ml, Mo, . . . , Mj; ; m', , II'.,,

celles de Jq.

(') Voir Tome III, p. 333-35i.

et

FONCTIONS ABÉLIENNES.

De telle façon que l'on ail

x,y', — x'i j, -+- Xiy'i — x'ny-2 -{-...-+- x^y^, — x'pfr. = o

^' ^ ~ '^ — 1 autres relations de même forme.

Imaginons maintenant que l'on puisse trouver 2p.- nombres

?Il ?'2, • ■ -I ?2U.l

tels que les périodes de l'intégrale J, puissent se mettre sous la forme suivante

Xi = i,k ^i.i U ; -^'i = -^ ='!./t U !

les 4|^p nombres a, ^ et a] ,. étant tous entiers.

Supposons que l'on ait de même pour les périodes de l'intégrale J2 :

(les nombres a,./, et a',/, conservant les mêmes valeurs que plus liaut) qu'il en soit de même pour les périodes des intégrales suivantes J3, ... et qu'enfin pour les périodes de l'intégrale .!„. on ait

ti= S =(,■.<--<■;

Nous dirons alors que les p. intégrales Ji, J2, . . ., Jp. sont réductibles au genre p..

Nous formerons le tableau de 4l^p nombres entiers :

a,., a, , a.2.1 ao ai. 2 x'1.2 2o 2 a'o