I.-21J. ■'■2.2(J. ■*2,2lll ••• -"p.SlJ. "-P-^V
Le problème que nous nous proposons est de réduire ce tableau à sa plus simple expression.
V^oici comment cette réduction peut se faire :
i" Au lieu d'envisager un système de périodes normales
Xç,\
320 FONCTIONS ABÉLIENNES.
de l'inlégrale Ji et les périodes correspondantes des autres intc^grales, on aurait pu envisager un autre système de périodes normales de J,. Par exemple :
X, -¥■ x\ , Xi,
ou bien
— Xi, x-,, .
ou bien
l'urineront eacoie trois systèmes de périodes normales de J|. Il sera donc permis :
Ou bien d'ajouter dans le tableau (i) aux termes d'une colonne do rang impair, les termes correspondants de la colonne de rang pair qui la suit (nous dirons pour abréger que ces deux colonnes appartiennent à la même paire).
Ou bien de changer de signe tous les termes des deux colonnes d'une même paire.
Ou bien di' permuter deux colonnes d'une inèuie paire en changeant tous les signes de l'une d'elles.
Plus généralement on peut faire l'opération suivante que j'appellerai l'opération A et qui n'est qu'une combinaison de celles dont nous venons de parler :
Remplacer les nombres a,./, et aj ^ par les nombres entiers (3,./, et p',,. déllnis comme il suit :
'ii,k= ai3.i,i-h bîT-'ij, ; '?',.!! = Cini.k-^ di^'i.k^
OÙ
{au l>i, Cl, f/i), Ui-i, b'., Cl, rfi), ..., {Oç,, hç,, Cç„ dp)
sont 4p nouibres entiers satisfaisant aux p conditions
ai di — biCi^ 1.
De même les périodes
— xn, a;,, Xs, Xi, ..., x^; — x\, x\, x'., x\, ..., x'^ ou bien
Xl~^Xï, X-i, Xz, ..-, Xp\ x\, x'« — x\, x'^, ..., x'r,
sont encore des périodes normales.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 321
II est donc permis :
Ou bien de permuler deux paires de colonnes en changeaal tous les signes de l'une d'entre elles.
Ou bien d'ajouter la première colonne d'une paire - à la première colonne d'une autre paire t.' et de relranciicr en même temps la deuxième colonne de la paire r' de la deuxième colonne de la paire tt.
Plus géréraleiiienl on peut faire l'opération suivante que j'appellerai l'opération B :
Remplacer les nombres x,.t et y.\ j. par les nombres J3, ,tet (3^ ^ définis comme il suit :
les a, y et les bij étant des nombres entiers satisfaisant aux conditions suivantes : le déterminant des a, y est égal à i de même que celui des bij\ de plus on a
2,a,-,/6,.i-= o si ji^k, et
de telle sorte que les deux substitutions linéaires définies, la première par les p- nombres a, y, la seconde par les o- nombres bij soient deux substitutions corrélatives.
2" Posons maintenant
'ç'k= '^c'i.ki.i,
les a,.A étant des coefficients entiers dont le déterminant est égal à i. Supposons de plus que les quantités
soient formées à l'aide des rj, ... et des z comme les ;' sont formés avec les.^.
Par hypothèse les périodes de l'intégrale J| sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers des quantités \ et les périodes des intégrales Jo, . . . , J(j. seront formées avec les quanlilées r), .... 7 comme celles de J, avec les quantités 5.
De même (et cela se voit sans peine), les périodes de l'intégrale Ji seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers des quantités ^' et les périodes des intégrales Jo, . . . , Jj^ seront formées avec les quantités r/, . . . , t' comme celles de .Ti avec les quantités ^'.
H. P. - IV. 4i
322 FONCTIONS ABÉLIENNES.
11 est donc permis de faire l'opération suivante que j'appellerai l'opération C : Remplacer les nombres a,-./, et a| /. par les nombres (3,/, et (3| ^ dél'inis comme il suit :
?t.k = '^j'ij k-J-i.j-, ,S,'.i = 2/ay.xa,'./,
les coefficients aj.u étant 4p-^ nombres entiers dont le déterminant est é^al à i.
On peut en particulier permuter deux lignes du tableau (i) en changeant tous les signes de l'une d'elles, ou bien ajouter une ligne à une autre.
En d'autres termes, on conserve le même système de périodes normales, mais on remplace le système des quantités i; auxquelles ces périodes peuvent se réduire par un système équivalent.
Le problème que je me propose est de réduire le tableau (i) à sa plus simple expression par le moyen des opérations A, B et C.
Envisageons d'abord le cas où p.^ i, c'est-à-dire où l'intégrale Ji est réductible aux intégrales elliptiques. Nous supposerons de plus, mais seulement pour fixer les idées, p = 3.
Le tableau (i) s'écrira alors
11 est clair que les opérations A, B, C appliquées au tableau précédent ne changeront : ni la quantité
ni le plus grand commun diviseur des termes de la première ligne, ni celui des termes de la deuxième ligne, ni celui des déterminants formés avec deux des colonnes du tableau.
Cela posé :
1" On peut, par l'opéialion A, annuler a', ,, a'., ,, a'. permis de supposer que le tableau (i) s'écrit
Il est donc toujours
2° Appliquons maintenant l'opération B. Les nombres a', ,, a', , , a'. , ne cesseront pas d'être nuls; mais nous pourrons nous servir de cette opération de façon à annuler a.j 1 et a,.). Il arrivera alors que «i j sera le seul terme de la
FONCTIONS ABÉLIENNES. 323
première ligne qui ne sera pas nul; je puis toujours le supposer égal à i ; car s'il ne l'était pas on pourrait remplacer la période ^i par son multiple ai.iâ et a,.i deviendrait ainsi égal à i . Il est donc toujours permis de supposer que le tableau (i) s'écrit
3° Appliquons de nouveau l'opération A, mais sans toucher à la première paire de colonnes; les termes déjà annulés resteront nuls. Mais nous pourrons diriger l'opération de façon à annuler «'^ „ et a'. „. Le tableau deviendra
4" Appliquons l'opération B sans toucher à la première paire de colonnes; les termes déjà annulés resteront nuls, et nous pourrons diriger l'opération de façon à annuler «3.5.
Le tableau (1) s'écrira alors, en remplaçant les lettres « pourvues d'indices par de simples lettres a, b, c. etc.
5" Appliquons maintenant l'opération C en retranchant a fois la première ligne de la seconde; le tableau se simplifie encore et s'écrit
On est ainsi conduit au lliéurème de M. Weierstrass que j'ai démontré et généralisé dans la Note citée plus haut.
Mais la simplification peut être encore poussée plus loin ainsi que M. Picard l'a montré dans le cas de p = 2.
Le nombre b (que je puis toujours regarder comme premier avec c) est une constante absolue à laquelle je ne puis toucher, car ce n'est autre chose que l'invariant (2). Mais je vais montrer que je puis en dirigeant convenablement les opérations rendre c égal à tel nombre entier (premier avec i) que je voudrai el en particulier à i .
•le puis en combinant les opérations A et B, ajouter y. fois la deuxième colonne à la troisième en ajoutant a fois la quatrième colonne à la première.
FONCTIONS ABELIENNES.
Le tableau devient
Je puis de même ajouler p fois la deuxième colonne à la quatrième en retranchant (3 fois la troisième colonne de la première; il vient alors
— te — 3t3/; h c -k- ab |ii (j <
Je puis toujours choisir les nombres entiers y. et (3 de telle sorte que le plus grand commun diviseur de
c + ab cl (Je '}b
soit tel nombre d (premier avec b) que je voudrai.
Appliquons ensuite l'opération A sans toucher à la première paire de colonnes, mais de façon à annuler le quatrième terme de la deuxième ligne; il vient
-pc — ap/< b ,1
ou en ajoutant ^c-\- a.^b fois la première ligne à la deuxième
I o o (1 (I o o b (I o Cl II
d'où il suit que la forme la plus simple du tal)leau (i) est la suivante :
I II o (I o o
II b I II (I o
Nous allons maintenant passer au cas général.
Voyons d'abord quels sont les invariants que les opérations A, B et C laisseront inaltérés.
Il y a en premier lieu le plus grand commun diviseur des déterminants obtenus en prenant i\j. colonnes dans le tableau (i). Je pourrai toujours supposer que ce commun diviseur est égal à i .
En effet l'opération C permet de remplacer le système des périodes \ par un système équivalent. Mais 11 peut arriver dans certains cas qu'on puisse remplacer ce système par un autre, non pas équivalent mais plus simple.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 3v!5
Si par exemple on avait (en faisant pour plus de simplicité p^ 2, ,u=: i) :
il serait plus simple de poser 2^4=: £', et déconsidérer le système des périodes E', et ?2; c'est d'ailleurs ce que nous avons déjà fait une fois.
Si donc les déterminants définis plus haut n'étaient pas premiers entre eux, il serait possible de remplacer les périodes ? par un autre système plus simple et on réduirait ainsi à l'unité le plus grand commun diviseur en question.
Cela posé, les p-(2y. — i) quantités
ne sont pas altérées par les opérations A et B. La forme bilinéaire
F = i:,.,,<IU-.„?<r,v
(où l'on donne à A cl à q les valeurs 1,2, .... 2p. en observant que
ne sera donc pas altérée par les opérations A et B.
On voit sans peine que l'opération C change cette forme en une autre équivalente, au sens arithmétique du mot.
Soit A- le déterminant des nombres <!>/, y, (qui est évidemment un carré parfait); ce sera un premier invariant de la forme ¥.
Nous allons chercher à réduire cette forme bilinéaire F à sa plus simple expression par une transformation linéaire convenablement choisie.
Si A n'est pas nul, la forme F pourra être réduite ainsi qu'il suit :
où A|, A^, .... Aj. sont |jL nombres entiers tels que
Il suffit pour s'en assurer de répéter presque sans y rien changer le raisonnement de MM. Clebsch et Jordan (T'Aeori'e 6?er^6e^5cAert Funclionen, p. io3).
Il en sera encore de même si A est nul; seulement un ou plusieurs des nombres A/, seraient nuls.
Mais on peut pousser plus loin encore la réduction. Supposons pour fixer
326 FONCTIONS ABÉLIENNES.
les idées p. = 3, et imaginons (en supposant A différent de o) (jue la forme F soil réduite ainsi qu'il suit :
A 1 ( ?i "^2 — ?2 -m) ^ Aj (I; 7).. — El T|,) -I- A:, ( ^.-, T,r, — Ç, ■r^-^).
Soil A le plus grand commun diviseur des trois nombres A|, Ao, A3; soit A-B celui des trois produits Ai A2, Ai A;,, AjA.i ; soit enfin
A,A2A,= A''ir^C = A, la forme F peut être réduite encore ainsi qu'il suit :
A(?i-1-2- ?!-r„)+ AB(|„-1i-?rr,n)+ ABC(?.,r,,,-?,T,,).
Ceci nous fait voir quels sont, outre A les invariants de la forme F.
Soit A, le plus grand commun diviseur des mineurs d'ordre < du déterminant A'; ce sera un invariant, et la forme F n'en aura pas d'autres; il suffira d'ailleurs d'envisager les mineurs d'ordre impair.
Observons maintenant que les 2p.- quantités 5, r), . . . , t ne peuvent être choisies arbitrairement. Envisageons en effet la forme bilinéaire
^li'Xi.r'i— ■^'où- Si l'on j substitue à la place de x, ou de x[
aix'i-{- (iiv'i-i- (>■.: 'i + ■ ■ ■-\- <'|j.//, el en même temps à la place de y-, ou Aq y\
les a et 6 étant api nombres tout à fait quelconques, le résultai de la subslitution devra être nul.
Si l'on substitue à la place de a-, ou de x[ les parties réelles de
aixi-i- anVi-h an :,-)-. . .-+- 0(i<(,
et à la place de yi ou de i'^ les parties imaginaires des mêmes quantités, le résultat de la substitution devra être positif. Reprenons donc la forme
FONCTIONS ABÉLIENNES. Say
Nous devrons avoir
F [R(ai :<•-!- «■>ïH- + ...-i-«ji-*)r l("i?'t-+-«2-r,i^...-T-«ii-<)J> o,
(juelles que soient les (|iianUtés a et h.
Nous désignons pour abréger parPi(a) cl I(u) les parties réelle et imaginaire de u.
Nous pouvons toujours supposer que la forme F est réduite. Nous l'écrirons donc en supposant f/ =^ 3 pour fixer les idées
F(?i, r,t)= Ai(Ç,r,,— Ç.-r,,)-f- A,(E;,t,.- SvTI^)-;- \.(i^r,,,— ^^^t,,).
Je dis que les trois nombres A,. Ao, A:; sont diflérenis de zéro. Supposonsen effet que A3 par exemple soit nul. On pourrait choisir alors les nombres «i, a-j et 03 de telle sorte que
arg(«,?i-+- a-.r^i-h a:jTi)= arg(,a,;2+ «o-i^-t- 'tz-2), arg(ai|:i-i- arq-j-i- rt3T.i)= arg((7iÇi-l- a.,r^f,^ «:;-.i).
Ces deux conditions jointes à A., = o entraîneraient
ce qui serait contraire à l'inégalité démontrée plus haut. Z>o/ic A rte/;f!<^yamrt<5 être nul.
Cela posé, on voit sans peine que l'on a entre les ï, les t] et les 7 la relation
et les deux relations analogues.
Cette démonstration se trouve dans une Note que nous avons publiée, M. Picard et moi, dans le Tome 07 des Comptes rendus ('). Dans cette Note nous avons établi que toute fonction analytique de n variables et à 2/1 périodes peut s'exprimer à l'aide des fonctions 0. Mais je ne reproduis ici que la portion de la démonstration qui est utile pour mon objet actuel.
Revenons maintenant au problème de la réduction du tableau (1) et supposons pour fixer les idées, p. = 2, p = 4.
(') Voir ce tome IV, p. 807.
328 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Nous commencerons au moyen de l'opération C par réduire la forme F à sa plus simple expression. Nous écrirons donc
F = aCiiTii— ^•r,,)+a6(Ç2T,3— Ç3Tr>),
a et h étant deux entiers différents de zéro; cela est toujours possible d'après ce qui précède.
Nous avons vu en traitant le cas particulier de p = i, qu'on peut par les opérations A et B faire disparaître tous les termes de la première ligne du tableau ( i ), sauf le premier; qu'on peut ensuite par les opérations A et B, et en ayant soin de ne pas loucher à la première paire, faire disparaître tous les termes de la deuxième ligne sauf les trois premiers. Nous opérerons de même ici et nous ferons disparaître tous les termes, sauf le premier de la première ligne, les trois premiers de la deuxième, les cinq premiers de la troisième et les sept premiers de la quatrième.
Le tableau ( i ) s'écrira alors
ît'i.n
ïi.i
îts.i
Nous n'avons employé que les opérations A et B; la forme F n'a donc pas changé et l'on a encore
On a donc
<I>, 2= ï'i.j = <i, 'ti.:;= at'i .: = i>.
(I>i 1= a'i.i = o, '^2.:;= 3I2.2 2o.; = iih.
De plus «2 3 doit être égal à i sans quoi le plus grand commun diviseur des déterminants formés avec quatre colonnes du tableau (1) ne serait pas égal à i. Le tableau (i) peut donc s'écrire
Retranchons maintenant la première ligne, «,.0 fois de la deuxième, «1.3
FONCTIONS ABELIENNES.
fois de la troisième, «i.^ de la quatrième; puis la deuxième ligne «0.3 fois de la troisième et «o.i fois de la quatrième, le tableau (1) deviendra
(I bis)
0 0 o fiO
0 ti o a'.,
Ici deux cas sont à distinguer suivant que a est égal à i ou n'est pas égal à 1 . Supposons d'abord a = 1 .
Retranchons la deuxième colonne oc', ,, fois de la quatrième et ajoutons en même temps la troisième colonne a', ,, fois à la première (opération B).
Retranchons 0(3,^ fois la deuxième colonne de la cinquième et la sixième de la première (opérations A et B).
Retranchons enfin a,.., fois la deuxième colonne de la septième et la huitième de la première.
Le tableau i devient alors
o i 0 (i il o o
On peut ensuite en retranchant la première ligne un nombre convenable de fois delà deuxième et de la quatrièuie, amener le tableau (1) à la forme
(t 0 o If 7.3 :;
Enfin une dernière simplification est encore possible. Les nombres b et «3.;, sont premiers entre eux, et l'on peut en opérant comme nous l'avons fait dans le cas particulier do p.^i, réduire x^.,, à l'unité.
Le tableau ( i ) est alors amené à sa forme définilive
Supposons maintenant que a ne soit pas égal à 1 et reprenons le tableau ( i ) sous sa forme (1 bis).
33o ' FONCTIONS ABÉLIENNES.
Il est clair que ah et a^ n sont premiers entre eux; on pourra donc, en opérant comme nous l'avons fait dans le cas particulier de f^ = i , réduire oi^.^ à l'unité.
Comme nous avons appliqué plusieurs fois l'opération G, la forme F a été
changée en une autre forme équivalente, mais elle a du rester divisible par a.
Donc
•^2 V = a'„ i et (I),i=a'...i (puisque st;.;; = i)
doivent être divisibles par a. Soit donc
a 2 t = </c, 3.'. ,,= ad.
Nous retrancherons ensuite la troisième ligne «s.., fois de la quatrième et le tableau (i bis) deviendra
O . O I I ) " Il II < 1
o o o (tb I o II o o a o ac II (id "■, i o
où c' =^ C — bc-ii,.
Retranchons maintenant c'fois la deuxième colonne de la quatrième en ajoutant c' fois la troisième à la première.
Retranchons d fois la deuxième de la sixième en ajoutant d fois la cinquième à la première.
Nous avons introduit ainsi dans la première colonne le terme c' à la seconde ligne et le terme c? à la troisième; nous les ferons disparaître en retranchant c fois la première ligne do la deuxième et d fois de la troisième. Le tableau ( i ) deviendra alors
ion I
o o 1 II II II
o o o tlh 1 I)
Enfin une dernière simplification est encore possible ; il est clair que a et a, ,i sont premiers entre eux; nous pouvons donc opérer comme nous l'avons fait dans le cas de /j. = i et comme nous l'avons fait deux fois dans le cas actuel et réduire :z., .• à l'unité. Le tableau ( i ) prendra alors sa forme définitive
I o o II o o o o
o o I II (1 o o o
o o II '(b 1 (I II 11
o rt o o (I II I 11
FONCTIONS ABELIENNES.
On peul généraliser; j'écrirai le tableau (t) réduil à sa plus simple expression en supposant p ;= 6, p. = 3
(I II II II I o II
o () o o o ((/ji; I
o o II (f/f o o ()
Il a o II f> o II
i> Il I)
1) Il o
il reste maintenant à écrire le tableau des périodes sous la forme habituelle; nous le ferons dans les quatre cas que nous avons choisis plus haut pour exemples, c'est-à-dire quand
iji = 3, p = 6, rt > I.
Nous supposerons que le tableau (i) a été réduit à sa plus simple expression comme il a été dit plus haut, et nous ferons :
Dans le premier cas :
Dans le deuxième cas :
Dans le troisième cas :
Enfin dans le quatrième
ah':
Cela est toujours possible en choisissant convenablement les intégrales ,Ti,
Il résulte de là et de la forme du tableau (i) que les périodes jc\, x',,, . . . , x',, de Ji sont toutes égales à o. excepté une qui est égale à i. De même des périodes correspondantes de Jo, . . -, Jp.- En d'autres termes, J|, J^, . . ., J.^
FONCTIONS ABÉLIENNES.
sont des intégrales normales. On j adjoindra p — /jt autres intégrales normales et on écrira le tableau des périodes sous la forme habituelle, c'est-à-dire dans l'ordre suivant :
•î -^p î •^ii
On obtiendra ainsi les tableaux suivants :
Premier cas. — (jl = i , p ^ 3 :
I O () Ji o
o I o ~ C. Il b
0 0 1 o H G' Deuxième cas. — p. ^2,p=^4)'^ = > •
o I o o Ti, T,., - o
o o I o o , Cl II h
o o o I o o II G'
Troisième cas. — ;jLr^2,p = 4i'^>' •
1 o o o ti
(hiatrième cas. — ;ji = 3, p = 6, a > i :
() I O O O o r,| Tjo Tj;;
abc
tibc
II
ah
II
FONCTIONS ABÉLIENNES. 333
a, b Cl c sont des enliers; il est clair d'ailleurs qu'on doit avoir
L'inspection de ces tableaux montre que s'il J a |j. intégrales réductibles au rang p., il y en aura p — (j. réductibles au rang p — [i.
