III. Considérons maintenant une fonction F(x) de genre n
i" Supposons que x croisse indéfiniment en conservant un argument déterminé, et que a soit un nombre tel que
lim e»'^"^' = o;
l6 TRANSCENDANTES ENTIERES.
oa aura f-galemenl
lim c=<^""'F(a:) = o,
quelque pclil que soit le module de y..
2° L'intégrale définie
prise le long d'une droite d'argument tel que la limile de e''^"'""' pour ^ = oo soit nulle, représente une fonction entière de -•
3" Si l'on pose et si a est le plus grand entier contenu dans — - — i on aura
limA^«!=o, |Miur // = ao.
4" On aura de même
lilii Ap y(/)!)=o, pour /j = oc,
et même la série
2Ap"*V(P]a:/' représentera une fonction enlière.
5" La fonction F(x) peut se mettre sous la forme
<!>(«) désignant une fonction entière et l'intégrale étant prise le long d'un contour enveloppant l'origine.
Buttelin de la Sociale Afathéinatiijue de France, l. 11, p. i3i;-i.'|4 (20 juillet iS83).
Lorsquuue série développée suivant les puissances de x est convergente pour
toutes les valeurs de cette variable, elle définit une fonction entière; mais on
peut aussi mettre une pareille fonclion sous la forme du produit d'une infinité
de facteurs primaires, comme le fait AI. Weierslrass. Un facteur primaire est
. une expression de la forme
P(x) étant un polynôme entier en r, et le facteur est de genre n, si P(j") est de degré /i.
Une fonction entière est alors de genre ii si elle ne contient que des facteurs de genre n ou de genre inférieur.
Bien des questions se posent au sujet de celle classification des fondions entières; on j)eul se demander, par exemple :
i" Si 1(1 somme de deuj fonctions de genre n est aussi de genre n; 2" Si la dérivée d' une fonction de genre n est aussi de genre n.
Ces théorèmes, on admettant qu'ils soient vrais, seraient 1res difficiles à démontrer. Je crois que je serai utile à ceux (|ui en cliL-rcheront plus lard la démonstration en publiant quelques résultats sur la façon dont se comportent à l'infini les fonctions de genre n.
Leurs propriétés à cet égard dépendent, en effet, dans une certaine mesure de leur genre. Par exemple, si l'on considère une fonction entière dont tous les zéros soient réels positifs, et que l'on fasse tendre x vers l'infini par valeurs réelles négatives, la fonclion tendra vers l'infini si elle est de genre zéro, et vers zéro si elle est de genre i. Voici d'autres propriétés analogues :
l8 FONCTIONS ENTIÈRES.
Considérons une transcendante de "enre zéro
et supposons que x tende vers Vinjîni avec un argument déterminé ; soit a. un nombre, aussi petit que l'on voudra, mais d'argument tel que
lim e»i'= o.
Je dis que
lim F(a;)ea'-= o.
En effet, posons
o! = o:i-l-ao-f-...-l-a.;-l-...
(a,. «2, . . . , St., avant même argument que oc), d'où
Quelle est la coniJilion [)Our que le module du facteur
reste plus petit cpie i quand œ varie de zéro à l'infini en conservant l'argument que nous lui avons attribué? Nous pouvons toujours supposer que oi^x est réel et négatif, sans quoi on se bornerait à la [);irtie réelle de ix,.x, la partie imaginaire ne devant rien changer au module. Cela posé, il faut satisfaire à l'inégalité
Or
