II. — Cas singuliers de réduction
Nous allons désormais nous restreindre au cas où une ou plusieurs des intégrales abéliennes considérées sont réductibles aux intégrales elliptiques.
Soient Ji et i-, deux intégrales abéliennes réductibles aux intégrales elliptiques. Soient
les périodes normales de Ji et
j'i = ï'i 'ni -!- S', •r,,.
.!> = ~;ç-i;i-i-or,T,n,
les périodes normales de Jj. Les a, ,3, y et o seront des entiers. On devra avoir
et par conséquent
A ?, T„ -1- BÇ, T,.,^ CÇ.T,, -^ D?,T,, = o,
— ij
A, B, C et D sont des enliers.
Gela posé de deux choses l'une :
Ou bien l'égalité ( i ) n'est pas une identité, ou bien elle est une identité, de sorte que
i" Supposons d'aliord qu'elle ne soit pas une identité.
Je dis alors qu'il y aura une infinité d'intégrales de la forme
Ji-i-ÀJa
qui seront réductibles aux intégrales elliptiques. En eflel pour que Ji + /Jj soit réductible, il suffit qu'il y ait entre les quatre quantités
deux relations linéaires et iiomogènes à coefficients commensurables que je pourrai écrire
b, c, II', a élanl commensurables.
L'élimination de /, entre ces deux équations donnera la condition
l>'h'''ii-*- C'^IT,,— <)E.,-r,,— c|-2T,o= o.
Celte condition sera satisfaite si l'on pose
6'=,u.A, c'=,uB, /; = — iJiC, c= — uD,
jJL élanl un nombre commensurable quelconque. On aura alors
jJi(Cr,,— iJr,,)
Si donc nous posons l'intégrale
sera réductible toutes les fois que p^ sera commensurable.
On peut toujours supposer que /* ^ i ; car si cela n'était pas, on remplacerait l'intégrale Jo par l'intégrale /i3.. qui n'en diffère que par le facteur constant li.
On a alors
Ç, = -(A-o,+ lir,,i.
2" Supposons maintenant que la relation (i) soit une identité. Imaginons
FONCTIONS ABELIENNES.
que le tableau des périodes ail été réduit comme il a été dit au paragraphe précédent et qu'il s'écrive (en supposant p =: 3 pour fixer les idées) :
a étant un entier.
Si donc on pose
(périodes de l'intégrale Ji)
G II (|iéiii)des d'une intégrale que j'appelle J', )
H G' (périiides d'une intégrale que j'appelle J'; )
on aura
11 viendra alors
a;; = O ; a I = rt,
oc- =: o,
l'our que la relation ( i ) soit nue identité, on doit donc avoir
f', = S'i = o, Y2="Ti' o'^= (io\,
ce qui entraîne évidemment
Or si l'intégrale Jj qui doit être une combinaison linéaire de Ji, i.. et J'. s'écrit par exemple :
on aura
Les conditions précédentes équivalent donc à la suivante :
On a donc
.1,= ky.,-\-iv..
Revenons maintenant au cas où la relation (i) n'est pas une Identité, mais en supposant que le tableau des périodes ait été ramené à la forme (y.) de façon que les a et les (3 prennent les valeurs (3).
336 FONCTIONS ABÉLIENNES.
On aura alors une infinité d'inlégrales réduclibles
Ji-H fxJo,
OÙ (j. esL un nombre commensurable quelconque. On aura d'ailleurs
La première période de l'intégrale J( + jjij.j [dans l'ordre du tableau (2)] est alors
a a:, -î- u. y\ = I + '- • tt
Nous pouvons donc choisir le nombre commensurable y., de telle sorte que celte première période soit nulle; il suffit pour cela de poser
fi=— a.
On a alors
A' et /étant des coefficients numériques convenablement clioisis. Si donc parmi les intégrales abéliennes
il j en a une (autre que Ji) qui soit réductible aux intégrales elliptiques, ou bien h sera nui, ou bien il j en aura une infinité d'autres comprises dans la formule générale suivante :
fi/i Ji-+- ki'.^ -+- U'-
(où fjt est un nombre commensurable quelconque) qui seront également réductibles. En particulier
est une intégrale réductible.
Si donc on désigne par
j'i! 721 y-\ yu y-î, ja
les périodes de celte intégrale
FONCTIONS ABÉLIENNES. 337
on devra avoir
ce qui prouve que pour celle intégrale la relation ( i ) esl une identité. D'où la conséquence suivante :
S'il existe deux intégrales réductibles J^ et J) pour lesquelles la relation (i ) ne soit pas une identité, il y en aura une infinité d'autres et parmi celles-là, il y en aura encore une pour laquelle la relation ( i ) sera une identité.
Je vais maintenant démontrer le théorème suivant :
Si dam; un système d'intégrales abéliennes de rang p, il y^ en a p — i linéairement indépendantes qui sont réductibles aux intégrales elliptiques, il y en aura une p"^"'' qui sera également réductible.
En eiïel ces p — i intégrales abéliennes linéairement indépendantes et réductibles aux intégrales elliptiques, peuvent être regardées comme formant un système de p — i intégrale? réductibles au genre p — ^ i. Donc d'après le théorème énoncé à la fin du paragraphe précédent, il devra y avoir une p''""' intégrale, linéairement Indépendante des p — i premières, et qui sera réductible au genre i. c. q. f. d.
Je dis maintenant que si l'on a fx -l- i intégrales réductibles aux intégrales elliptiques (et que ces p. -|- i intégrales ne soient pas linéairement indépendantes) il y en a une infinité.
Soient en efTet
J>, J'i, •••> fv.
fi intégrales réductibles linéairement indépendantes et
une (JL -f- 1"^™" intégrale qui est une combinaison linéaire des jj. premières et que je suppose également réductible.
Les périodes de l'une quelconque des fx intégrales y^. y-2, . . . , yy, celles de yi par exemple, devront être des combinaisons linéaires à coefficients entiers de deux quantiti's que j'appelle ;,■ et ru qui sont les périodes de l'intégrale elliptique à laquelle peut se réduire j',-.
338 FONCTIONS ABÉLIENNES.
II résulte de là que les périodes de
J = a,j-,-l- ao)-.2-+-. . .-;- scjii-j;^
seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers des 2;j. quantités
2|«,, ■j.-.l.., ..., a.jL çu.,
Pour que celle intégrale J soil réductible aux inb'yrales elliptiques, il fnul et il suffit qu'il j ail cnlre ces 2;ji quantités, 2;ji. — 2 relations linéaires homogènes à coefficients entiers.
Supposons qu'il en soit ainsi, et soient
11. nombres commensurables ^j<e/con^Mei différents de zéro; il y aura alors aussi 2,u — 2 relations linéaires à coefficients entiers entre les 2|j. qunniilés
'■>■ I [^l 'n 1 , «2 fi-,' fri , «(j. [j[j. Tiji)
et par conséquent l'intéyrale
sera réductible quels que soient les nombres commensurables ,3j, |3-,, . . ., [Sp,.
Si en particulier il y a plus de 0 intégrales réductibles, il y en aura une infinité.
El eu ellel, cnlre p + i intégrales il y aura toujours une relation linéaire, puisqu'un système d'intégrales abéliennes de rang p ne contient que 0 intégrales linéairemen" indépendantes.
Dans un Mémoire inséré aux Acta Matheniatica, M""' Kowalevski étudie le cas de réduction des intégrales de rang 3 au rang 1 , en supposant que le nombre caractéristique de la réduction que nous avons ici appelé b soil é!;al à 2.
Dans un cas remarquable, elle trouve quatre intégrales réductibles et n'en trouve que quatre ; il n'y en a que quatre en effet où h soit égal à 2, mais il 3' en a une infinité pour lesquelles b est supérieur à 2.
Je vais enfin pour terminer ce paragraphe démontrer que tout système d'intégrales abéliennes diffère infiniment peu d'un système réductible.
FONCTIONS ABELIENNES
Voici ce que j'entends par là :
Soit (en supposant p := 4 pour fixer les idées),
I >> O O Xi.i ■:■,,] T:;.! -j.
O 1 (I O "l.i ■;■).■> ■£:;... Tl.
• 1 O I O Ti.:i T...:, -;■,.:, -;.
O I) Il l ~],i Tj.i T.-i.i Ti.
le tableau des périodes normales d'un système d'intégrales abéliennes. On n'obtiendra un système d'intégrales abéliennes proprement dites, c'est-à-dire un système engendré par une courbe algébrique, que s'il y a une certaine relation entre les o; car le nombre des modules d'une courbe de rang 4 étant g, est inférieur à lo, nombre des r.
Il convient toutefois de s'affranchir de celte difficulté, et pour cela il suffit d'étendre un peu le sens du mot intégrales abéliennes.
Soient Xi, x-,, x..., x^, x-^, cinq fonctions abéliennes (S fois périodiques) de quatre variables Ui. u,, m.t et u,.
Il y aura entre ces cinq fonctions une relation algébrique
s(Xi, X'i, X::, X;, Xt) = O,
et il est aisé do voir que Wi, w^, M;i et «■, sont des intégrales de dilTérenticlles totales dépendant de Xi, Xn, X3, X; et x... On aura
■l 1 dXi ■+- 'li-r dx, -+- 'l:; dxz -I- iii dxi,.
où ']>!, '^.j, '^3 et i., sont des fonctions rationnelles de x^, x-2, x^, x-, et x^.
Nous conviendrons d'appeler encore intégrales abéliennes les intégrales de différentielles totales ainsi engendrées.
Alors quels que soient les r (pourvu qu'ils satisfassent à certaines inégalités et sans qu'ils soient assujettis à aucune égalité) ils pourront être regardés comme les périodes d'un système d'intégrales abéliennes et la difiiculté signalée plus haut disparaîtra.
Considérons donc le système suivant de périodes ;
tl
.1 -+- rZij,
To.j-t- rc-.,i,
'..,-^rS::.,
•Cv.
i-t-ri,.,.
■■,-hrB,,3,
■^?,.::,-+- rS:;,-,
::-i-ri.,,:;,
Or
-■:.i-i- rE'..i,
-.•;.t-i- rîn.i
34o FONCTIONS ABÉLIENNES.
Ici r est une quanlilé positive donnée. Quant aux s ce sont des quantités satisfaisant bien entendu à la condition
et que j'assujettis de plus aux inégalités
Laissons r constant et faisons varier les s en leur donnant toutes les valeurs compatibles avec les inégalités précédentes. Nous obtiendrons ainsi une infinité de systèmes d'intégrales abéliennes.
Parmi ces systèmes, il y en aura quelque petit que soit r, une infinité qui contiendront quatre intégrales réductibles au rang i.
C'est ce que j'entendais en disant que tout système d'intégrales abéliennes est infiniment voisin d'une infinité de systèmes réductibles.
Le résultat que je viens d'énoncer est presque évident. En effet une intégrale sera évidemment réductible au genre i si toutes ses périodes sont de la forme
a et ,3 étant commcnsurables ; si on d'autres termes, toutes les périodes sont des nombres complexes commensurables.
Mais parmi les nombres
qui satisfont à la condition
il y aura, quelque petit (jue soit r, une infinité de nombres complexes commensurables.
On peut donc choisir les £;./, d'une infinité de manières et de telle façon que les quatre intégrales normales soient réductibles aux intégrales elliptiques.
.Je pourrais ajouter que l'on peut choisir les s,./, de telle sorte qu'il y ait une infinité d'intégrales réductibles, mais je n'ai pas besoin pour mon objet de cette extension du résultat précédent.
