III. — Généralisation du théorème d'Abel
Je suis obligé ici de faire une digression et de donner avant d'aller plus loin, une généralisation du théorème d'Abel qui me sera utile dans la suite.
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Soit,
une courbe plaue quelconque. Soit u(^x, y) une intégrale abolleune de première espèce attachée à cette courbe. Soit c une courbe variable de degré donné m qui coupe la courbe ( i) en ^ points variables :
•^\l Jl i -i^ij yi\ ■■■y -^r/, y<l-
La somme
"■{Xt, yi ) — u<Xi, y. )-<-... -i- ii(.r,i, r,)
sera une constante (quelle que soit la courbe c, pourvu toutefois que son degré m ne change pas).
Tel est le tliéorème d'Abel que je me propose d'étendre aux surfaces.
Je vais d'abord l'étendre aux courbes gauches.
Soit c une courbe gauciie quelconque et x^ y, z un point mobile sur celle courbe. Nous pourrons mettre l'équation de celte courbe c sous la forme
suivante :
9ix, y)
/, 9 et 'J^ étant des polynômes entiers en x et en r. L'intersection complète des deux surfaces.
se compose alors de la courbe c et d'un certain nombre de droites parallèles à l'axe des z et qui sont les droites communes aux trois cylindres
/(■^ij) = o, ■l{x,y) = o, o(j-, jk)=o.
D'ailleurs toutes les droites communes aux deux premiers de ces cylindres, doivent également appartenir au troisième. Je renverrai pour plus de détails au Mémoire de M. Halphen sur les Courbes gauches algébriques, couronné par l'Académie de Berlin.
Il existera un certain nombre d'intégrales
u(x,y, s)=Jn(.r,y, z) dx
(où R est une fonction rationnelle de x. y et de ,:; ^r el z étant définis en fonction de x par les équations de la courbe c) qui resteront finies en tous les points de c.
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Ce seront les intégrales de première espèce attachées à la courbe c. Le théorème d'Abel s'applique à ces intégrales. Considérons une surface algébrique d'ordre m qui coupe c en ^ points :
(j-i, j-,, Si), (x.2,r.2,Z2) ■■■, (x.,, y,„ s,/),
la somme
u{j:,, y,, Zi)-h f/(j-.>, )•,, ;:,)-(-...+ ii{:r,,, Vg, z^)
restera constante quand ou fera varier cette surface, pourvu que m reste constant.
Cela est presque évident et pourrait se démontrer directement par le même procédé que le théorème d'Abel relatif aux courbes planes. On peut aussi le déduire aisément de ce théorème :
L'intégrale u peut se mettre sous la forme
Pii étant rationnel en X et en j'. C'est alors une intégrale abélienne attachée à la courbe plane /= o.
Soit maintenant
n(x, r, s)= ;'"-+- OiCr, )•);'"-'-)- 0,(j-, ,r)s"'— --I- . . .-+- li„,(./-, i ) = o
l'éi|uriti()a d'une surface quelconque S d'ordre m. Si l'on j lemplace J par sa valeur y ) il vient
(s) ?'"-)- 0,'!/9"'-iH- 0,'V-i '"-- + .. .-4- 0,„ •!/'" = o.
Si l'on appelle n el n -\- i les degrés des deux polynômes '^z et cp, l'équation (2) sera l'équuliou d'une courbe plane de degré in{n + 1 ). Cette courbe plane coupera la courbe/^o en un certain nombre de points. Parmi les points d'intersection, il y en aura g
qui correspondront aux q points communs à la courbe c et à la surface S. Les autres correspondront aux droites communes aux trois cylindres
la ti'ace de cliacune de ces droites sur le plan des xr comptant pour //* points d'intersection.
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Les points d'intersection de la preniiéie sorte sont mobiles, les autres sont fixes. Mais dans l'application du théorème d'Abel aux courbes planes les points d'intersection fixes ne doivent pas intervenir. Nous pouvons donc écrire
ii{.t\, Vi I — Il {■''■:, J}'/) -h . . .-t- u{.f,p J'y ) = cou st.
Supposons en particulier que la courbe c soit l'interseclion coni|}lèle île deux surfaces algébriques
de degrés m et n. Il est aisé de former alois les intégrales de première espèce.
Supposons que la courbe c n'ait pas de point singulier, ce qui veut dire que les trois déterminants fonctionnels
dj ./= <// fk cl/ (Iz fif <l-. </f >h clf ,lz
dy dz dz dy d~ d.r d.r </z d.r dy dy de
ne peuvent pas s'annuler à la fois en un point de la courbe. Je dis que l'intégrale
r P(./-, j% z)dx
" ~J <IJ d'^ dj d-. '
dy d'z ~ dz dy
OÙ P est un polynôme quelconque de degré m -{- n — 4) sera de première espèce.
En efl'et elle reste finie quand x, y e\. :■ deviennent infinis; elle ne ])oiirrait donc devenir infinie que si le dénominateur
df ^ df d^ dy dz dz dy
s'anaulait. Mais on a
Y>dx r ^dv r Pdz
r Pdx r Pdy r F
" ~J df d^ df dz ~J df </? df d^ ~J df d^
dj^ dz c/f d^ d df d^ df d^ J d£d^ df d^ dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx
L'intégrale u ne pourrait donc devenir infinie que si les trois déterminants fonctionnels s'annulaient à la fois, ce qui n'a pas lieu, par hypothèse. Donc elle restera toujours finie. c. q. f. d.
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Passons mainlenant aux surfaces. Soit
une surface algébrique S.
M. Picard a démontré qu'il n'existe pas pour toutes les surfaces d'intégrales de dilTérentielle exacte de première espèce, c'est-à-dire d'inlégrale de la forme
u = f{ndj-+- Hii/j)
qui reste toujours finie, où la quaulitù sous le signe / est une différentielle exacte, où enfin R et Ri sont rationnels en x, y et z.
Je dis que dans ce cas le théorème d'Abel est encore applicable.
Voici ce que j'entends par là.
On sait que pour définir une famille de courlies gauches, il ne suffit pas de s'en donner le degré, mais qu'il faul connaître également plusieurs autres nombres caractéristiques. Je renverrai d'ailleurs pour plus de détails au Mémoire cité de M. Halphen. Quoi qu'il en soil, nous dirons que deux courbes gauches, sans point singulier, appartiennent à la même famille quand tous les nombres définis par M. Halphen seront les mêmes pour les deux courbes. On peut alors passer de l'une à l'autre par variation continue.
Soit alors une courbe gauche C qui varie, mais de fayon à appartenir toujours à la même famille. Soient
ses q points d'intersection avec la surface S. Soit «i, a.., .... u,, les valeurs de l'intégrale m en ces q points. La somme
sera une constante.
Commençons par envisager le cas particulier où la courbe G est l'intersection complète de deux surfaces algébriques d'ordre in et n, et que j'appellerai Si et S-.). Alors les q points d'intersection de G et de S seront les q points communs aux trois surfaces
L'intersection de S et de .Si est une courbe gauche et l'intégrale u d'après sa définition même, sera une intégrale de première espèce attachée à cette
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courbe gauche. Nous pouvons donc faire varier la surface So sans que la somme
varie, l'our la même raison, celle même somme ne variera pas quand on fera varier S|. Donc quelles que soient les surfaces S) et S-i on aura
Ui-+- Uz-t- . . .-+- u,/ ^ A" ;
A- étant une constanle. c. q. f. d.
En particulier, si m^n = \, la courbe C se réduit à une droite, et l'on a pour toutes les droites de l'espace
Ui-h u,-i-. . .-h ii,/=K:
K étant une constante.
Je dis maintenanl que k = m«K.
En elTel faisons dégénérer la surface S, en m plans et la surface S-, en n plans; la courbe C dégénérera en mn droites. La somme — « étant égale à K lorsqu'on envisage une droite isolée, devra être égale à miiK quand on envisagera un système de mn droites.
Envisageons maintenant une courbe gauche de degré d qui ne soit pas une intersection complète. Son équation pourra toujours s'écrire
F, ij/ et cp étant des polynômes dont le degré est respectivement d, « et n + i. Les deux surfaces algébriques
F = o, 'Iz— z =0
sont de degré d el n -{- i. Leur intersection complète se compose de la courbe G et de nd droites parallèles à l'axe des z. Soient
(x,, r\, z,), ..., (x,f, y^, z,/) les q points d'intersection de C et de S et
les/? — q points d'inlersection des nd droites dont je viens de parler et de S. On aura alors d'après ce que nous venons de voir
tt(^,,7,, Zi)-^u{xo,yn, z.)-i-...-huix,j,y^, z,.) ={n -i- i) c/K. H. P. — IV. 44
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D'autre part on aura pour les nd droites
On a donc
u(xi,y,, s,) -I- m(j-,, j'.,, s.)-!-... -h it(.c,„y,„ z,/ ) = rfk.
Gela montre en même temps que la somme ia est la même pour deux courbes de même degré, quand même ces deux courbes n'appartiennent pas à la même famille.
On comprendra, sans que j'insiste davantage, que le théorème d'Abel s'applique encore aux intét;rales de première espèce de dilTérenlielles totales de la forme
/ H, d.fi -+- Pjr/j:.,-(- .... R„r/;r„,
où les R sont des fonctions rationnelles dex», ar.j, ... .x,, et^, el où ^ est défini par une équation algébrique
Je vais maintenant, quoique cela ne soit pas nécessaire pour mon objet principal, montrer comment et dans quelle mesure le théorème d'Abel peut s'étendre aux surfaces qui n'admettent pas d'intégrale de première espèce.
En ce qui concerne les courbes planes, sans point singulier, ce tliéorèmepeut s'énoncer de la façon suivante :
Soit /=o une courbe algébrique de degré m; soient cp ^ o, 9 + £.{; = o deux autres courbes algébriques de même degré et infiniment peu différentes l'une de Vautre.
Soient (j7i, rj), {x-,, y^), . . . , {x,j,y,i) les q points d'intersection def^^ o, 9 = 0; soient (xt -+- dx, , y, ■+- rfc, ), . . . , {xq -+■ dxq, y,, 4- dy,i) les q points d'intersection de f^o, 9 -i- £']> = o. On aura
■^ Pfjy, r.,) dx~,
Zà w ~°'
P est un polynôme quelconque d'ordre m — 3.
De même, en ce qui concerne les courbes gauclies, sans point singulier, le théorème d'Abel peut s'énoncer comme il suit :
Nous ne considérerons qu'une courbe ^auclie, intersection complète de deux surfaces algébriques
de degrés m et n.
Soient encore cp ^ o, cp + £'|v^o, deux surfaces algébriques infiniment Lioisines l'une de Vautre. La courbe gauche coupe la surface a> := o en q points
(XvjjKvi ^v) ^' le surface o + £■]/ ^ o en q points {Xy+ dx^,y.,-\-d)\,, z., + dz,,) et l'on a
Jj ,lf <.
JL'Mi ^^ liL
c/y., i/z:, (ly~, (./:., P étant un polynôme quelconque de degré m -\- n — 4-
Passons maintenant aux surfaces; soit /= o une surface algébrique d'ordre m. Considérons son intersection avec une courbe gauche variable, intersection complète de deux surfaces y = o, cpi ;= o d'ordres n el p. La surface /= o coupera une de ces courbes gauches C en ry points {x^, y,,, :■.,) et une courbe gauche C, infiniment voisine de G en q points {x.,-\-dx.,, }%+ dy.,, 3.;+ d:~,).
Soient tp ^ o, cpi ^o les équations de la courbe C et & + £.!> -^ 0,0, + s-Lj := o les équations de C, e étant infiniment petit.
Nous envisagerons la courbe C" qui n pour équations
et nous appellerons
(ar.,-t- oxy, jv-t- 3r.„ 5.,+ SSv)
ses q points d'intersection avec la surface /;= o. Nous poserons ensuite dx.,= ûa\ -H f)x.„ d)''i= Sj'v-t- <^>'v, dzy'= ùz^-^ ôz-,.
Les deux courbes C et C" étant sur la même surface Ot ^ o, on aura dx., av., ilz,,
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De même les deux courbes C" el C étant sur la même surface (bH-e^'^o, on peut, en négligeant £, écrire
Appliquons le théorème d'Abel à l'intersection de la courbe gauche/=o,
o, = o, avec les deux surfaces infiniment voisines cp = o, es H- v^ =^ o. Il viendra
^ I'., ox., à(y., :■■/) Dans cette équation P.; désigne un polynôme de degré m + p — 4, où j;, y, z ont été remplacés par x.,, y,„ s^ et '' représente suivant l'usage le déler-
minant fonctionnel de / el de 91 par rapport à y-j et à z.,.
Mais on a identiquement
dz, , ^3 , dz ,
ox., or<, o:.; dX; o\\, ■ //:.,
Je désignerai pour abréger par Aj, le dénominateur de la dernière de ces fractions.
On aura alors
■V» P// do , dz ^ dz> ^ \
Z a:, [dj:, "■'■■'+ dj^, ^■' "^ dt, "'■'} = "•
Mais on a de même, à cause de (.5) :
VF,, / dz , dz , do
11 vient donc
Av\«.'v dy., dz,,
2\', I dz , dz , d'i , \
c'est la généralisation du théorème d'Abel. On trouve de même
1 \ [£, ''"•'+ dV. <''-'^ ^ ^'-"^ j = "■
Qv étant un polynôme de degré m-\- n — 4-
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Un cas particulier intéressant est celui où la surface /=o se réduit à un plan; si cp ^ o, 9) ^ o sont deux courbes planes de degré m se coupant en m- points (x.,, y.j) et si deux courbes de degré m infiniment voisines se coupent en m'^ points (x., + dx.,, y;-\- dy.,) on aura
^J dz, ds, dz, dz
dxy dy,, dx., dy.,
P élant un poljnôme quelconque de degré m — 3 et X étant une constante quelconque.
