IV. — Fonctions intermédiaires
Envisageons un système de fonctions abéliennes à n variables ./■,, Xn. . . ,, Xn et à 2 71 périodes. A l'exemple de MM. Briol et Bouquet, j'appellerai fonction intermédiaire toute fonction entière des n variables qui se reproduit multipliée par une exponentielle quand les /i variables augmentent d'une période.
Soit par exemple : a,./,, «2*5 • • • «h * une période. Une fonction entière <J sera une fonction intermédiaire si l'on a
'I>(.i-i-l- au, Xi+a.,t, ..., Xn-^a,,,/,) = <l>(xi, j:«, ..., a;,,) e»i-i'-i+^'-i'-'+...+»".t-'-.+ïi
(les a et les y étant des constantes) et cela pour toutes les périodes.
Je vais supposer pour fixer les idées qu'il n'y a que deux variables x eXy; j'appellerai les périodes fondamentales
«1, ai, a^, a,,, ô,, b., bj, bi,
et les multiplicateurs correspondants seront
ei,.r+p,r+T., e«i'-+?!r-i-T!, e3:,.r+3,v+Yj, e«.-i-i-?.r+Y..
Si l'on augmente x et r d'abord de la période (a,, b^) puis de la période {a-2, b-i), les deux multiplicateurs successifs ont pour exposants d'abord
{<XiX + pîj-i- T2)j puis (^1-^ + Pi/ + Yi-t- ai«2-i- fi^i).
Le résultat devant être le même dans les deux cas, le nombre
aoai -t- j3o6i — a, a.! — J3i6.>= Mi.»
35o FONCTIONS ABÉLIENNES.
devra êlrc égal à un entier multiplié par iït.. Il en sera de même des expressions analogues M,- ,{ où les indices i et k ou des valeurs quelconques. Considérons en particulier une exponentielle de la forme suivante :
gi' oii 1' = A^'--i- i Bj/ -i- Cj--i- •jDj^' -!- 2E>' -T- F. Si l'on augmente x et r de a et de 6, l'exponentielle se trouvera multipliée par
OU
a = j Aa -+- '.Mb,
v = Art--^ i B«6 -7- C6--i- -îDa + 2E6.
Il vient donc
- >,\^i. — ( Koi-^ Bi,)«x-i-flia,-4- Ç.bi)bi; — (\<ik-^^bk)(ii — (^ak— Cb/t)bi= o.
Ainsi pour une exponentielle e'", tons les M,,t sont nuls. Il est aisé de voir que ces exponentielles sont les seules fonctions intermédiaires qui jouissent de cette propriété. Car si une autre fonction intermédiaire <I> en jouissait, on pourrait trouver une exponentielle e^'' telle que la fonction <I>e~'', qui est également intermédiaire, eût tous ses multiplicateurs égaux à i . Il en résulterait que cette fonction 4>e~'* qui est entière serait quadruplement périodique; elle se réduirait donc à une constante, de sorte qu'on devrait avoir
Supposons maintenant que les périodes
bi, b-., b-,, hi,
que nous considérons soient des périodes normales, de sorte que l'on ait
(i) ai 63 — ajbi-t- a-,b, — 0462=0.
Posons
a\ = «:;, a'-, = — «1, a'o = aj, a'„ = — a»,
On aura alors
2 (7, a'i = - ff , 6| =0.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 35l
Je dis mainleniint qu'on a
( -i ) ^i.k ^h.ki'H fi'k — c'k ^>\ ) = ">
la somme étant étendue aux six combinaisons possibles des nombri.'s i el />■. En effet cela peut s'écrire
^i.k'^^i.ku'ib'k = o,
où celte fois on donnera à i et à /:, indépendamment l'un de l'autre les valeurs 1,2,3, 4; cela fera donc en tout seize termes donL quatre seront nuls parce que Mi.i=o.
La relation précédente devient alors
S,-./t(2i«A--t- [jiOk— --^k'U— 'fkijl)"'ib'k = "
ou bien
^Zi{:i.ia\^kakb\)-^-^:.i{':nbi-S.kbkh\)-^kV->-kb\^iaia\)^-^k{':'kb\^lbia\) = o.
La relation est donc vérifiée, puisqu'on a
-*-<U-6a= ^kbkb'k= i;,(', «; = "^ibia\ = o.
Cela posé, de deux choses l'une, ou bien les relations ( i ) et (2) sont distinctes, où elles ne le sont pas.
Je ne veux pas démontrer ici que ces relations ne seront jamais distinctes à moins que les intégrales abéliennes considérées ne soient réductibles aux intégrales elliptiques. La démonstration serait sans doute fort longue.
Laissons de côté ce cas exceptionnel et supposons que les deux relations ne sont pas distinctes, el par conséquent que les M,./, sont nuls, à l'exception de
Ml, 3 et de Mj , qui sont égaux entre eux.
M 1.3= .M;, i = ' mi T..
Le nombre m devra toujours être de même signe; il sera positif si comme ou le suppose d'ordinaire, on a
«ï al — a\ «!-! -^ !i? (/[ — a\ al > 0,
en désignant par a'I et a\ les parties réelle el imaginaire de a,.
Nous dirons alors que la fonction intermédiaire envisagée est d'ordre m.
La fonction intermédiaire sera une fonction 0 d'ordre m si les quatre multiplicateurs sont
352 FONCTIONS ABELIENNES.
les huit périodes élanl :
pour X : ■11-., o, G, II, pour >■ : o, 2 t;;, II, G'.
II est aisé de voir :
1° Que toute fonction intermédiaire peut être regardée comme le produit d'une fonction 0 et d'une exponentielle de la forme e^.
i" Que toutes les fonctions 0 d'ordre m qui ont mêmes multiplicateurs sont
des fonctions linéaires de m- d'entre elles.
Il en résulte que toutes les fonctions linéaires qui ont mêmes multiplicateurs sont des fonctions linéaires de m- d'entre elles.
Cela posé, on peut définir le multiplicateur correspondant à une période quelconque («, b) en se donnant les trois nombres (a, (3, y).
Si par exemple on a
<I> {X -H n, ,)• -^b) = <I> (x, y) e«-+pJn,
le multiplicateur serait défini par les trois nombres (a, [3, y). Mais il est préférable d'envisager trois autres nombres (a, p, ô) dont le dernier ô est défini comme il suit :
o = y («a -H Ojj),
OU plutôt
6 = y — -(«a + ip) (iiiod2i;c).
Car on peut évidemment augmenter ô d'un multiple de 2 /tî sans changer le multiplicateur.
Soient donc (r/, i), (a', U) deux périodes quelconques. Les multiplicateurs seront définis par les deux systèmes de nombres (a, p, y), («', (3', y') ou bien encore par les deux systèmes de nombres (a, (3, 0), (a', (3', ô') en posant
S = y-^(«a-i-6fi), S'=y'|- i(«'a'-(- 6'[i').
Considérons maintenant la période (a + a', h + 6'); le multiplicateur correspondant sera défini par les trois nombres (a", P", y") ou bien encore parles nombres (a", P", ô"), on trouve aisément
a"=a-t-a', [j"= fi -1- [3',
y" E^ y -t- y ' -H «' a -(- 6' [j EEE y + y' -(- ''x' -1- b'(-î ( niod 2 i ;t ),
S" 5= y" [a"(« -•- "') + V\b + ^')J = û -H S' -H -(aa'-l- 6p'- n'a — 6'|j).
FONCTIONS ABÉLIENNES. 353
Or d'après ce que aoiis avons vu
<t j. -^ b' ''i — rt 3t' — b y = '}. kir:, /.' élanl un entier. On aura donc, selon que l'entier k sera pair ou impair :
S"ïs S + o'-i- jn (moAiir.).
Cherchons donc à déterminer le nombre A'. Supposons que l'on ait
, • (les c el les -n (■tant entiers),
rt = 7), «, -1- T|2 «2 -f- Tj3 «:-. -(- T)v «i
et de même pour b et b' . Il viendra
Si donc m est pair, on aura toujours
Si au contraire, m est impair, tout dépend de la parité de la parenthèse. Considérons donc une période quelconque
et proposons-nous de trouver le multiplicateur correspondant (a, (î, 6). On trouvera aisément
a = ;, zi-h ç^ao-l- ;:;2:;-i- ;•. a-., ,' — çi ,Ji — ;2 iJ-> -T- ;s ,J3 -H ;v \'\- On auFii de plus
S = liSi -i- Joo-i— çnôs-t- 5'.2i (mod i ir.),
si m est pair ou si
est pair.
On aura au contraire
si m el ;ti3-|-;-j^i sont impairs.
H. P. - IV. 4î
354 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Nous allons mainlcnaul introduire six nombres
définis comme il suit; considérons la forme biliaéaire
x,y::— Xzfi -i- -(••:.»■.— ^-i/»
et substituons «i. ai, «,, a, à la place de Xi, x^, jT;,, x-, et x,, a^, cz^, aj à la place de Kl, )2, )'3, )-4; nous aurons («, a); de même pour les autres. Nous poserons de plus
(<i, 0)= î Ri-, (b, 5) = 2 S(-.
Nous conviendrons d'écrire
lorsque la dillérence x' — x, v' — r sera une période.
Si donc on augmente chacun dos o d'un multiple de 'j. ir., ce qui ne change pas les multiplicateurs, les nombres R et S deviendront R' et S'; mais on aura
