IV, S') = (R, S

Voyons maintenant ce que deviennent nos six nombres (3).

1° Quand on change de variables.

■j." Quand on change de périodes.

3" Quand on multiplie la fonction intermédiaire par une exponentielle de la forme e*".

i" Changement (P origine. — Imaginons qu'on pose

quels seront les six nombres relatifs aux nouvelles variables x\ y''? Il est évident que les (jualrc nombres

(a, a), (a, [',), (b, a), ( /,, [i) ne changeront pas. (^iiand à R et à S, ils augmenteront respectivement de

4^[/,(«, a)-Â-(«, roj et ![/, (6, .)-^/>(6,;i)j.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 355

2° Changement linéaire. — Posons

x ^ 'i.x -\- \LY^ \jc = ixi^jr' — ,j-y',

y = Ài X — uty, A)- = — Xix'-i-A/, A = Àfjii — /, i a.

On aura alors, en appelani «', b', z', 3' les nouvelles valeurs de a, b, y., ^ :

a' = À a -+- \xb, Aï' = ;j;i a — À , ji,

b' = X , « H- iji| 6, AV = — ,u2 -^ A[i.

Si nous formons alors les nouveaux nombres

(«', a') («•, [!'), ..., il viendra

et de même pour les trois autres.

Les quatre nouveaux nombres tels que («', x') s'exprimeront donc linéairement en fonction des anciens.

Voici le tableau des coefficients :

(«, «) (b, Ti) (a, :i) (b, p)

(«', a'i Àjji, |x;ji, — À). I — ;ji>,(

(b',a') Ài,a, ji'î — X; — X,[JL,

(ce', [J') — À[x — n^ ^ Xi ;.(^

(è', Ji') — Ài.u — ;J.ijJ- X/,| X,ui

Ce tableau montre immédiatement que

est un invariani et i\ est aisé de voir en elfel que celte expression est égale à

M, ,-4- Mj , = ', mi-

Mais il y a plus. Supposons que 1 on ait

( n, î) = I />. ''j) = 2 miel

(a, jî ) = ( 6. 2) = o,

le tableau précédent muntre qu'on aura encore

(a. x ) = (b', ''i ) = 1 mir.

356 FONCTIONS ABÉLIENNES.

et

Nous allons voir mainlenant que les quatre nombres (a, a), etc., oui effectivement les valeurs que j'indique plus haut.

Pour une exponentielle de la forme e'', on voit aisément que ces quatre nombres sont nuls.

Pour une fonction 0 les quatre périodes ont pour valeurs respectivement

■i/-, o. (,. II.

et les nombres a et [3 ont pour valeurs

o. o, Ol. I),

II en résulte que l'on a

(«, a) = {b, jî) = '2 mi-, (a, [11) = ( II. y.) = o.

Ces valeurs resteront encore les mêmes quand on multipliera' une fonction 0 par une exponentielle e''; elles ne changeront pas non plus (ainsi que nous venons de le voir) quand on changera de variables. Elles sont donc les mêmes pour une fonction intermédiaire quelconque.

Qu'arrive-t-il maintenant des nombres R el S ?

Il est aisé de voir que par suite du changement linéaire que nous envisageons, les Y et les o ne changent pas. On aura donc, en appelant R' et S' les nouvelles valeurs de R et de S :

IV = À li -+- ;i S,

S' = À| R -h [Xi S.

Revenons au changement de variables que nous avions envisag('' d'abord, c'est-à-dire au changement d'origine. Nous avons vu que R et S augmentaient respectivement de

FONCTIONS ABÉLIENNES. SSy

Ces deux quantités, en tenant compte des valeurs des nombres (a. y.), etc., se réduisent à

//)/( et inf,.

Si donc on change de variables (;n posant

x' = X.r -T- ;i )■ -f- //, y = X|.r + IX, y -4- fc,

il viendra

H' = ?. R -;- [Jt S — /n/i, S' = /.| R + jjii S — m/.',

ce qui peut s'énoncer ainsi :