PS

Les nombres -et — "- subissent le même changement que les variables

elles-mêmes.

3" Changement de périodes. — Supposons que l'on remplace le système des périodes

que nous supposons être un système de périodes normales, par un autre système équivalent et également formé de périodes normales.

Les nouvelles valeurs des nombres a et ,3 seront formées avec les anciennes, comme les nouvelles périodes avec les anciennes et il en sera encore de même des nouvelles valeurs des nombres ô à un multiple près de in.

Il en résulte que les nouvelles valeurs des quatre nombres (a, a), (a, (3), (b, y.), {b, (3) sont les mêmes que les anciennes; et que les nouvelles valeurs de R et de S sont aussi les mêmes que les anciennes à une demi-période prés.

C'est cette demi-période qu'il faut maintenant chercher à déterminer.

Pour cela il faut envisager les ciiangements simples de périodes qui sont les suivants :

i" Permutation de a, et de a:i en changeant le signe d'une des deux périodes.

2" Changement simultané des signes de «i et a,,.

3" Permutation des deux paires de périodes (ai, a-s), {a-,, «,).

4" Changement de cti en a, -+- a-.

5" Changement de a, en a, + a^ et d(; r/. en «., — «:,.

358 FONCTIONS ABELIENNES.

Les Irois premières opérations ne peuvent alli'i-er les nombres R et S. Il n'en est pas de même des deux dernières.

Si l'on change a^ en a, + (7;. âi va se changer en o, + ô;, + - Mi.;, ou en 0] + ô;, + m«7r. De sorte que le nouveau ôj sera congru à ô, + ô;, ou à ô, -f- ô;, + in selon que m sera pair ou impair. Si l'on appelle R' et S' les nouvelles valeurs de R el de S, on aura

si m est pair, el

si m est impair.

Dans la cinquième opération, le nouveau ôi sera ôi + ô.H — M,., et le

nouveau Ô4 sera ô. — O;. M4.3.

Mais comme en jM, 5 ^Mi.:i;= o, un voit que cette cinquième opération n'altère pas R el S.

Ainsi donc dans le cas où m est pair, on a toujours

(R', S') = (R, S), et l'on a dans tous les cas possibles

4" Multiplication par une exponentielle. — Supposons que \\\\\ multiplie la fonction intermédiaire envisagée par l'exponentielle e'', on

P = A X- -J- 2 Bxj + C ) - -I- 2 D a- + ■' V.r -h I-"

Nous avons tiouvé pour l'exponentielle

a = 2 An -+- 2 Bb, ri= 2Brt-H 2 c&, Y = A (7- + 2 B «/; — C h- -H > D (/ -1- 2 E 6,

et par conséquent

0 = 2 Drt -H 2 E6,

ce qui montre que les six nombres (a, a), {a, |3), («, ô). etc., sont tous nuls. On ne change donc pas ces six nombres en multipliant une fonction intermédiaire |)ar une exponentielle.

FONCTIONS ABELIENNES. 359

On voit donc dans quelle mesure nos six nombres peuvent être regardés comme des invariants.

Ces résultais se généralisent immédiatement et s étendent au cas <les fonctions abcliennes de plus de deux variables, mais il est tout ù fait inutile que j'insiste sur ce point.

Soit (I)

Transformation .

un système de périodes normales, tel que

(l\- l>:: II;;, l/i-~ll,, A; — ai, 6i=0.

Envisageons maintenant un second système de périodes

, . ( Cl, C», Cs, C4,

[ (fi, t/i, fl~, ffi,

f[n'on obtiendra en posant

les X; A étant des nombres entiers.

Nous supposerons que ces nombres entiers /. aient été choisis de telle sorte que l'on ait identiquement

Le déterminant des À sera alors égal à p.- et l'opération par laquelle on passe du système des périodes (i) au système (2) s'appellera une transformation d'ordre y..

Il est évident que toute fonction qui admettra le système de périodes ( i ), admettra également le svslême (2). d'où il suit que les fonctions abéliennes engendrées par le système ( i ) ne sont que des cas particuliers de celles qui sont engendrées par le système (2).

Si l'on considère une fonction intermédiaire relative au système { i ), ce sera aussi une fonction intermédiaire par rapport au système (2), mais la réciproque n'est pas vraie. Une fonction intermédiaire relative au système (2) n'est pas toujours une fonction intermédiaire par rapport au système ( i).

36o FONCTIONS ABELIENNES.

Soit

le multiplicaleur d'une fonclion intermédiaire relative au système (i) par rapport à la période (a,-, b/) et

son multiplicateur par rapport à la période (c,, di). Nous poserons comme dans le paragraphe précédent

S; = 7/ — - ( "i 2/ -i- bi [i,- ); s; = -|-; — - ( C; a! + '/; p! ),

et il viendrii

( 3 ) »; = S>.;.< 3(<-, ;3; = - ^'>^Lli %,

(4) 0,'= SX,-.tô^- (modj-).

Il en résulte que si l'on forme les six nombres

(c, «'), (c,(fi'), (c, 8')' ('A»'), •■■, on aura

(c, a') = Hi(«, a), (C, ri') = i^(«, fi),

On en conclut que si une fonclion intermédiaire est d'ordre m par rapport au système ( i), elle sera d'ordre w;jl par rapport au système (2). Posons maintenant

on trouvera

(2R„2S,) = (2plK, 2,aS);

c'est-à-dire que les nombres R| , S, ne différeront des nombres /jiR, p.S que d'une demi-période du système (2).

Cela posé, imaginons qu'on se donne les a', les (3' et les ô' et qu'on se propose de déterminer les a, les p et les ô. Les a et les (3 se calculeront sans ambiguïté par le moyen des équations (3). Pour déterminer les 0, il faut mettre les congruences (4) sous une forme plus précise.

Nous les écrirons

(4) s;= 2X,./tSi-i-£,- (mod ?.£-);

£, ne dépendra que des X,,/, et sera égal tantôt à zéro, tantôt à m (cf. paragraphes précédents).

FONCTIONS ABÉLIENNES. 36l

Nous n'avons besoin de connaître les o qu'à un multiple près de 2 ir.. Il est aisé de conclure que les congruences (4)' comportent un nombre de solutions égal au déterminant des A, c'est-à-dire à p.-.

Je vais maintenant résoudre deux problèmes inverses.

1" Former les fonctions intermédiaires du système (2) à l'aide de celles du système (1 ).

Nous nous donnons les nombres a', (3' et n' correspondant à un système de fonctions intermédiaires d'ordre /jt, relatives au système (2).

Des égalités et congruences (3) cl (4) nous déduirons /j- systèmes de valeurs des nombres et, (3 et 0.

A chacun de ces systèmes de valeurs, correspondront m- fonctions intermédiaires d'ordre m relatives au système (1).

Par rapport au système (2), ces fonctions intermédiaires seront d'ordre inpet correspondront aux nombres donnés a', p', ô'.

On aura donc en tout m'-iJ.'- pareilles fonctions d'ordre m[i. qui seront linéairement indépendantes et à l'aide desquelles toutes les autres pourront par conséquent s'exprimer linéairement.

2° Former les fonctions intermédiaires du système (1) à l'aide de celles du système (2).

Nous nous proposons de trouver une fonction d'ordre m admettant pour chacune des périodes du système ( i ) un multiplicateur défini par trois nombres donnés (a, (3, ô).

Pour les périodes du système (2), le multiplicateur sera défini par les trois nombres (a', [3', ô') que l'on peut déduire des relations (3) et (4).

Toute combinaison des périodes (2) est aussi une combinaison des périodes ( I ); mais la réciqroque n'est pas vraie. Parmi les combinaisons des périodes (i), on peut en choisir p.- que j'appellerai périodes principales et qui jouiront de la propriété suivante :

Une période quelconque, je veux dire une combinaison quelconque des périodes (1), est toujours égale à une période principale, augmentée d'une combinaison des périodes (2).

Soit alors

(0,0), ((i'\.h'\), (<■/'.;,//',), .... {11",^ b'!,), II. p. - I\ . 16

les l'ji.- périodes principales (y = ;j -' — i ) el

les nombres qui di'fiiiissenl les niulliplicaleurs conespondanls.

Quant aux multiplicateurs eux-mêmes, nous les appellerons pour abréger :