I. I',, Pi, ..., Pv

Cela posé, soit <I> (x, y) une fonction intermédiaire d'ordre //i;j- par rapport au système (2) el admettant pour les périodes de ce syslénie les mêmes multiplicateurs (z', \j , ô') que la fonction qu'il s'agit de construire.

Les fonctions suivantes :

admettront les mêmes mulliplicaleurs que la fonction <I> elle-même, il est aisé de voir alors que la fonction

est une fonction intermédiaire d'ordre in par rapport au système (1) et admettant les multiplicateurs (a;, ,3, 0).

Le problème proposé est donc résolu.

Nous allons maintenant étudier plus particulièrement le cas où les intégrales abéliennes qui ont donné naissance au système de fonctions abéliennes envisagées, sont susceptibles d'être ramenées aux intégrales elliptiques.

Supposons pour lixer les idées qu'il n'y ait que trois variables a", y et z et

écrivons le tableau des périodes sous la forme suivante :

pour X : I. o, o. G, H', II',

pour y : o. 1. o. M", G', H,

pour z : o, o. I, W . II, G".

La variable 'xx 4- Pj' + y; aura alors pour périodes :

a, p., Y, (aG-H -iH-'-HTll'), (aH"-f- [iG' + Y H), (ï II' -H "iH -)- 7 G").

Si ces six périodes se réduisent à deux, nous dirons que la variable a.x H- (3j 4- y.: est réductible. Les variables réductibles correspondent ainsi aux intégrales abéliennes réductibles aux intégrales elliptiques que nous avons envisagées dans les paragraphes 1 et IL

FONCTIONS ABÉLIENNES. 363

Supposons qu'il y ail une variable réductible; je puis toujours par les procédés du paragraphe I ramener le lablean des périodes à la forme