OUI- .;■ : 1 , <). (>. G

j |)Oiir y : n. i, d, —, ('■ . II ( n élaiil un entier),

\ piiur G : i>. o, I, (), 11, ('."

de telle sorte que la variable réductible soit précisément x.

Supposons maintenant qu'il y ait une autre variable réduciijjle; il y aura certainement une troisième variable réductible, d'après les conclusions du paragraphe n, et de plus, ou bien ces variables seront de la forme

ou bien elle sera de la forme générale

aar-f- >/-f-T;, ■/ x -h 'fi' y -h Y :■;

mais il y aura une infiniti' d'autres varialjles réductibles parmi lesquelles les deux suivantes :

py-i-T-. '>'y-^Y--,

ne dépendront que de )• et de •:.

Dans tous les cas, s'il y a trois variables réductibles, ou s'il y en a une infinité, l'une de ces variables sera x. et deux autres seront des combinaisons de j' et de z seulemenl.

Gela posé, reprenons le tableau des périodes (5) et multiplions les qualriéme, cinquième et sixième périodes par a. Cette opération sera une transformation d'ordre a. Le tableau des périodes deviendra ainsi

o, o, I, o, aU, a G".

Retranchons maintenant la première période de la cinquième et la deuxième de la quatrième, le tableau des périodes se simplifiera et deviendra

pour ./■ pour y pour 3

I, o, o, aG, o. o.

o, I, o, o, a G', <i\\. o, o, I, o, «II, «G".

FONCTIONS ABELIENNES.

Les périodes de x sont ainsi rendues indépendantes de celles de^v el du z. La première et la quatrième période appartiennent à x seulement, les quatre autres périodes à }' el à ^ seulement.

Les deux variables

resteront d'ailleurs réductibles. Il en résulte que si nous envisageons le système

de périodes suivant :

pour r : i. i>. «G', oH,

Ijour z : <), I, «11, rtG".

qui n'est jilus que de genre 2, le système d'intégrales abéliennes correspondant admettra encore deux intégrales réductibles aux intégrales elliptiques.

On pourra donc d'après les principes du paragraphe I réduire le tableau des périodes, en prenant pour nouvelles variables

On trouvera ainsi

pour jKi pour Cl

Ji= PJ-^-T-.

G" {b étant un entier).

Le tableau complet des périodes sera alors

pour X : I, o, o, «G,

pour 11 : 0,1, o, o,

pour ;:i :

Faisons ensuite l'opération suivante qui est une transformation d'ordre b : Multiplier les trois dernières périodes par b; puis retrancher la deuxième de la sixième et la troisième de la cinquième. Le tableau des périodes devient ainsi :

pour r :

pour ri :

pour Cl :

abG,

fj G', . o, o, bG".

On voit que les périodes des trois variables x, ii et Zi sont ainsi rendues indépendantes.

On reconnaît sans peine comment le raisonnement précédent s'étend au cas général et l'on peut énoncer le résultai suivant :

Si dans un système de variables abélicnnes de genre p, il y a o variables réductibles, on peut par une transformation d'ordre convenable, simplifier le tableau des périodes de manière à rendre indépendantes les périodes des variables définitives.

Nous avons été obligé de l'aire dans le raisonnement précédent p ^ 3 et nou p = 2, parce que la généralisation en parlant du cas de p=:2 aurait pu présenter des difficultés.

Nous allons revenir à l'hypothèse p = 2 et supposer de nouveau qu'il n'y a que deux variables x ci y.

Considérons en particulier le cas où les périodes de x et de y sont indépendantes et où le tableau des périodes s'écrit

ii-.. o, G, o, o, li-, o, G'.

Cherchons à former toutes les fonctions 0 d'ordre ni qui admettent pour multiplicateurs relativement à nos quatre périodes

On pourra former m fondions 0 elliptiques, dépendant de la variable x, admettant les deux périodes

lir. et G,

avec les multiplicateurs

1 cl e"'i'+ïî.

Soient

e,(^-)i ^-i{-r), ■■■■ e,„(j;), ces m fouclions.

On jioiirra de même former m fonctions 0 elliptiques, dépendant de la variable )■, admettant les deux périodes

\>i- cl G',

avec les multiplicateurs

I et e'".' +-"..

366 FONCTIONS ABELIENNES.

Soient

ces m, fonctions.

Les m- produits

Biix}B'i.{y) (i, ^ = 1, ■-?, m)

seront alors des fonctions 0 de x et de y, à l'aide desquelles toutes les autres s'exprimeront linéairement.

Une fonction 0 quelconque d'ordre tn est alors égale à

où les A, .A sont dos constantes numériques.

Une fonction intermédiaire quelconque sera de la forme

où P est un polynôme entier du deuxième degré en x et en >•.

Supposons maintenant que les périodes de x et de )■ ne soient plus ind(''pendantes, mais (jue les deux variables

<^x-\-<^y, 3.'x^'p'y soient réductibles.

On pourra alors en prenant pour variables nouvelles,

et en opérant sur les périodes une transformalion d'oidre p, rendre indépendantes les périodes de x' et de r'.

Les fonctions intermédiaires d'ordre m relatives au premier système de périodes seront des fonctions intermédiaires d'ordre mp. par rapport au système transformé.

Il en résulte que toute fonction intermédiaire d'ordre /?( par rapport au premier système pourra se mettre sous la forme

(6) ■Z^ij.c^Bii-xx^ ';,y)^'^(y:.r + '{.'y).

Les A, /. sont des constantes; les indices / d k varient de i à m y, les 0, et les 0](. sont des fonctions 0 elliptiques d'ordre m[J.\ P est un polynôme du second degré en x eiy.

Une expression de la forme (()) n'est d'ailleurs pas toujours une fonction intermédiaire relative au premier système de périodes.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 867

Il faut pi>iir cela qu'il v ait entn- les A;./,-

rela lions linéaires qu'il est aisé de former.

Ces résultats s'étendent immédiatement au cas de p variables.