VI. — ■ Somme des zéros

Soient <ï>f, <I>.j, ..., <l>p, p fonctions intermédiaires de p variables Xi, x-i. . . . . Xr^ admettant les mêmes périodes et étant respectivement d'ordre Wi, nin, .... nir,. Considérons les solutions communes aux p équations simultanées

Soit

un système de solutions des équations (i). Soit

une des périodes.

11 est clair que

j-i — Vi-h a,, j:., = y., -i- eu, . . . , Sa= Vç, -+- a^

sera un autre système de solutions. Mais nous ne regarderons pas ces deux

solutions comme distinctes.

Dans un travail inséré au Tome XI du BuUelin de la Société mat hématiijue

de France ('), j'ai déterminé le nombre des solutions distinctes et démontré

qu'il est égal à

N = 1 ! /«i nii .... nir,.

Soit maintenant

^: = rf.<-= ('=1, a, ..., ?; /C = I, 2, ..., iV),

un quelconque de ces N systèmes de solutions.

Je me propose de déterminer la somme de ces solutions, c'est-à-dire de calculer les p quantit('s

H,=V,,,, ii,=V,.,, ",-.=2-''.'-'

C) Voir ce Tome IV. p. 3o2.

368 FONCTIONS ABELIENNES.

11 est clair que ces quantités H ne pourront être déterminées qu'à un multiple près des périodes. En efCel nous ne regardons pas comme distinctes les deux solutions

ri./c, y-l.k, ■■■■, Yçj.k

Mais si on les remplace l'une par l'autre

H,, H,, ..., Wr,

se changeront en

H|-f-ni, Ho-r-rtî- •••, H,, -f-«p

Les II nous seront donc donnés nou par une égalité mais par une congruence.

Je vais maintenant montrer que les II ne dépendent que des périodes et des multiplicateurs.

Pour cela nous allons, pour fixer les idées, supposer qu'il n'y a que deux variables x et r.

Nous aurons alors deux fonctions intermédiaires <l»i et «t^ d'ordres nii et m-, el nous envisagerons les deux équations

qui ont 2/n,ni2 solutions distinctes.

Soient alors

(a,, fï,. a-„ a-., \ Ih, l'i, l':., /',, les périodes et

(x,, [il, Si), (ao, [î.,, û.j), (x:„ [t;:, o-,), (a,, [ii, ôt), («M l'A, S',"), (a':;, [i'î, o'„), (a',, Ji',,, S',), (ï'i, [i'i, o'i),

les multiplicateurs de <t| et de <I>o, en conservant aux lettres y., (3 el o la même signification que dans les deux paragraphes précédents.

Je dis que II| et IL ne dépendront que des a, dos Z/, des x, des (3 et des i5.

Soient en eifet <!>', et <!•'., deux fonctions intermédiaires admettant respectivement les mêmes multiplicateurs que *t| cl '^J. Formons les équations

qui nuront :iin,in., solutions distinctes; faisons les sommes II,, H^. de ces 2mim.2 solutions. Je dis que IL et IL ne dépendent pas des 1.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 869

Soient 4>'J une fonclion intermédiaire a^ant mêmes mulliplicaleur.s que <I*i et <b\, et ^'[ une fonclioa intermédiaire avant mêmes multiplicateurs que «t., et «!>',. Alors les quotients

seront des fonctions abéliennes.

Soient maintenant X, Y et Z trois fonctions abéliennes quelconques admettant les périodes ( 2 ) ; il y aura entre ces trois fonctions une relation algébrique que j'écris

et toute fonction abélienne sera une fonction rationnelle de X, Y et Z. 11 en sera ainsi en particulier des sis dérivées partielles

dS.

dx'

Tv'

^ly

ce qui permet de posci

= Aa f/X-t-B r/Y), = ('(A, d\-hB,dY).

A, B, A,, B, étant des fonctions rationnelles de X, Y et Z.

En d'autres termes, si l'on regarde X, Y et Z comme les coordonnées d'un point dans un plan, l'équation ( /j ) représente une surface algébrique et j; et )• sont des intégrales de ditlerentielles totales de première espèce attachées à cette surface.

De plus je pourrai écrire

Pi, P'i, Q,, Pj, P'., et Qo étant des polynômes entiers en X, Y et Z. Il en résulte que les équations (3) équivalent aux suivantes

(■ibis) P,-4-ÀP', = F,-f-/,2P', = 0.

Ces dernières représentent une courbe gauche algébrique, variable avec les paramètres >.i et Xo.

Pour avoir Hi, il faut envisager les différents points d'intersection de cette H. P. — IV. 47

370 FONCTIONS ABÊLIENNES.

courbe cl de la surface (4), et faire la somme des différenles valeurs que prend l'inlégrale de première espèce x en ces dilléronls points :

Le théorème d'Abel généralisé nous apprend que cette somme csl une constante. Donc Hi ne dépend pas de >,| et de a.,. c. q. f. d.

Cela posé, proposons-nous d'évaluer cette somme en fonction des a, des 6, des a, des (3 et des ô.

Commençons par le cas des fonctions elliptiques et imaginons que l'on ail deux périodes

«1 et no

avec les multiplicateurs («i, •■,), {a-i, "2), ou encore

les nombres a, y et 0 ayant m("ine signification que plus liant.

On trouve aisément que si //( est le nombre des zéros de la fonction intermédiaire envisagée et H leur somme, on aura

imi- = 3.îri\ — «1 «2

a II Ci = h y„a, — Tirti,

ou en tenant compte des relations

■>Ui- = ( — («i-f- rt, ) -+- oort, — oi a«

m Sorti— Si «fo

H = — ( « 1 -+- rt-2 ) H : •

Si m est pair, on obtient ainsi

cl si m est impair