i — Oilîi
H^ ■ 7^- (moQ«i, 11-2 ),
11 E^ : i (moa«i, «2).
FONCTIONS ABÉLIENNES. 37I
Revenons maintenant au cas de deux variables, mais en supposant que les périodes de x et de >' soient indépendantes. Soient alors
pour ,/■ : i-fi, o, «:i, o, pour )' : i>, h^, o, l)\,
ces quatre périodes et
(a,,[i,,3,), (=(,, fi,, 3.,), (a,, fi„, S.,), (a.,, [i^, Sj), les miiliiplicateurs correspondants. ( )n aura
ao«i — ^i| ij = Ml.) = o, 23 a L — ^1 ";; = Mi.:i = unir.,
«jai — pi^i = 0, «2"n — ,j:i6>='>,
[îi6-> — ^'j-ib; = iiiii-, [j?.b; — Xt «3 = o,
ce qui permet de poser, p. étant une constante convenaLlement choisie
Multiplions maintenant notre fonction intermédiaire par
«3! «4) Pi) Pa s'annuleront et les autres nombres a, (3, r} ne changeront pas. Nous ne changerons pas d'ailleurs les zéros de notre fonction intermédiaire. Nous pouvons donc toujcjurs supposer que l'on a
«2= at= p,= [i::=o.
Soient maintenant <I> et <I»' deux fonctions intermédiaires d'ordres m et m' ayant respectivement pour multiplicateurs
(X|, o, 0|), (o, [i-i, S.,), (an, O, 83), (o, ('ii, Si), (x',,o, û'i), (o, ^-î'., S',), (x',, o, 5'.), (o, [i',,, S'J,
et envisageons les deux équations
qui ont 2 mm' solutions distinctes.
11 existe rn^ fonctions intermédiaires qui ont mêmes multiplicateurs que <1>, et m'- fonctions qui ont mêmes multiplicateurs que <I»'. Mais d'après ce que nous venons de voir, H| et Ho ne dépendent que des multiplicateurs et ne changeront pas si l'on remplace •!> et <l>' par d'autres fonctions intermédiaires ayant mêmes multiplicateurs.
3j2 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Parmi les fondions qui onl mêmes multiplicaleurs que $, il y en a qui sont de la forme
<Sf,{x) est une fonction intermédiaire elliptique, admettant les périodes a,, Oj et les multiplicateurs («,, ô, ), («:,. O;,).
De même '^i{y) a pour périodes O^, b-, et pour multiplicateurs ([jj, ^Oi
Je pourrai de même remplacer <&' par le produit
<t',(a;) aura pour périodes ai, a,, et pour multiplicateurs («',, o\), {oc'.,, o.,) et 0'.,(j-) aura pour périodes b.^, b,, et pour multiplicateurs {^'.,, ô',), (j3',, ô\). Nous remplacerons donc les équations (5) par les suivanU's :
'PiU )*.;(.>•) = 'I''i(-f)*a(.>') = o>
OU ce qui revient au même par les suivantes :
(Gj <l>i(^j = 'K(.l'j = " et 4)', (.r) = *.,(>•) = o.
Soient /(,, /i-j, /(', , /(', la somme des zéros de «I»,, *2, *',, *',.
Je dis qu'on aura
II, = m' /i I -t- m/i\ , Ho = /;('/(., -H m II'.,.
En effet énumérons les 2mm' solutions des équations ((3). On les obtiendra
i" En combinant les m zéros de <I», avec les m' zéros de 4»'„. 2" En combinant les m' zéros de <1>', avec les m zéros de 4>a.
Donc chacun des zéros de «ti paraîtra m' fois et ciiacun des zéros de <!»', paraîtra m fois. C'est pourquoi l'on a
III = ni' hi -+- m li\ .
Nous aurons d'autre part
Ai = -^ : H m 1
ïi- a
d'où
Hl^ :— (0;;«i Oi (t:A ■+■ -^-{O- a\ O, «3 j,
lo terme imm' ( "'"*" "' ) disparaît comme ('■lant un iniilliple des périodes.
Posons maintenant, en reprenant les notations des paragraphes précédents :
{a, 5 ) = «I 83 — «sOi -f- rt.^Ov — avoo = «I 03 — «30], ( puisque a» = «■, = o), {a, 0) = iK ir., ( 6, S ) = aS i;i:, (n, 3') = 'iR'j;:, (6, 3') = 2S'î'::.
Il viendra
H, £EEE /h' R -t- m H',
et de même
IIoE= «('S -I- mi' .
Nous pouvons doue écrire plus succinctement, et conformément aux notations adoptées plus haut, (7) (H,, H.,) = (m'R + m\\\ w'S-l- /«S').
Celte formule est démontrée pour deux fonctions intermédiaires quelconques, toutes les fois que les périodes de x et de y sont indépendantes.
Passons maintenant à un cas plus général, et supposons que les périodes de X et de y ne soient plus indépendantes, mais que parmi les variables de la forme ex + dy. il y en ait deux qui soient réductibles.
Nous supposerons d'abord que ce soient x et r qui soient réductibles et que
les périodes s'écrivent :
( pour x : rti, CT-2, «.:, o-\ pour y
I pour )- : hi, b,, b-,, 64
de telle façon qu'il y ait deux relations linéaires à coefficients entiers entre «i, a..>, «3 et a.i et de même deux autres relations semblables entre 61, è.j, 63 et b:,.
On pourra alors, par une transformation d'ordre \j., amener les périodes de x et de y à être indépendantes et remplacer le système des périodes (8) par un nouveau système (9) de périodes indépendantes.
Soient alors <& et <!>' deux fonctions intermédiaires d'ordres m et m' .
Envisageons encore les équations
Soient R, S et R', S' les nombres R et S relatifs aux deux fonctions <I> et <!>'.
374 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Par rapporl au nouveau systènie de périodes (9), $ et <I»' seront des fonctions intermédiaires d'ordres m/n et m'p. et par rapport à ce nouveau systènie, leurs nombres caractéristiques seront devenus respectivement R,, Sj et R', , S',.
On aura d'ailleurs [cf. paragraphe précédent)
(2R„ 2S,)^('>[xR, 2,ulS), (2R',,2S',)^(2|JlR', o,jiS'),
par rapport aux périodes (9) et a fortiori par rapport aux périodes (8).
Les équations
auront imm! solutions distinctes par rapport aux périodes (8); la somme des inim! valeurs de x sera Hi, celle des imn'é valeurs de »■ sera H^.
Ces mêmes équations auront i\i?Tnn^ solutions distinctes par rapport aux périodes (9); la somme des 2[j.-mrn' valeurs de x sera A'i, celle des z^J-'-mm' valeurs de j- sera Ao.
On aura d'ailleurs évidemment
. (Â-„ /.-,) = (H^Ml,, ,x^ 11,),
la congruence ("tant prise par rapport aux périodes (8).
Nous pourrons appliquer au calcul de A', et de A.j la formule démontrée précédemment pour le cas où les périodes x et r sont indépendantes, ce qui donne
( A'i, k-i) ïEE f ;i Hi ' M I -1- ;JL/H R', , ij.;?i'S| -t- [J. 1)1 S', )
OU
ou enfin
(2^1, 2A-2) ^5 (2|j.-[/«' K -t- //( R'J, 2iJ.-'[/«'S -(- mS'J),
(lo) (2jJ.-lll, 2[JI-I1,) = (2IJl'-| /«'H -f- «i R'J, 2|a-[ «i'S -1- /hS']).
Envisageons donc le système des deux quantités
11 1 — m \\ — mW , Ho — «i'S — //( S'.
D'après la congruence (lo), ces deux quantités devront toujours êlre égales à une période divisée par 2/j.-. Or ces deux quantités sont évidemment des fonctions continues des o et des o'. Ce ne peuvent donc èlrc que des constantes, ce qui nous permet d'écrire
( lli, llo ) =^ ( /"'R -+- «i li'-H Al, /«'S -+- ;/( S'-i- A.j),
A, et Ao sont des constantes ne dépendant que des périodes a et b, des y. et des [3, mais indépendantes des ô et des o'.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 375
Il reste à déterminer ces constantes. Pour cela, j'envisagerai un cas parliculier, celui où les o et les o' sont tous nuls. Dans ce cas on a
De plus la fonction *l*{x, y) aura mêmes multiplicateurs que *i>{ — x, — y) el par conséquent que
qui est une fonction paire.
Cela nous permet de supposer que dans les équations
4» el $' sont des fonctions paires.
Si alors
X = xo, y=yo est une solution de ces équations, il en sera de même de
X= — Xi,, y— —y,,.
.Si ces deux solutions sont distinctes, leur somme est nulle; elles entrent toutes deux dans l'expression de Hi et de IL el elles s'y détruisent.
Si elles ne sont pas distinctes, une seule d'entre elles devra entrer dans l'expression de Hi et de Ho et ce sera évidemment une demi-période.
Ainsi dans le cas qui nous occupe (IIi, H^) est toujours une demi-période et comme on a dans ce cas
