H„H,)^(A„AO

on voit que (A|, A-..) est aussi une demi-période; on a donc dans le cas général

(2H1, 2H2) ^; (2«i'K -+- iniK' , ini ?> -1- 2 m S').

Cette formule subsiste encore quand on fait un changement linéaire de variables ou un changement de périodes [cf. paragraphe IV).

Celte formule est ainsi établie pour tous les cas où il y a deux variables réductibles; mais il est aisé de l'étendre au cas le plus général.

En effet, d'après un théorème démontré au paragraphe H, tout système de périodes diffère infiniment peu d'un système correspondant à un cas de réductibilité. De plus il est clair que Hi et IL sont des fonctions continues des périodes.

La formule précédente doit donc s'appliquer quelles que soient les périodes.

C'est ainsi que si f{x) et 0(a;) sont deux fonctions continues de .r qui sont égales pour toutes les valeurs incommensurables de x, elles seront encore égales pour toutes les valeurs commensurables. La façon de raisonner est toute pareille dans les deux cas.

Ainsi dans tous les cas la différence

(Hi — m'R — mR', IL — /«'S — /«S')

est toujours une demi-période.

Ceci permet d'écrire

(111, l\.,)^^ m' \\ -I- «î K'-l ( Cl "1 -+- l'..«-J-1- V;;ai-¥- l-'irti ),

«i'S ■+■ mS' -t- - (r, 61 -+- c^ bi -+- v-^b;; -+- Vib; ) U

les i' étant des entiers.

Par raison de continuité, les entiers c devront avoir toujours la même valeur, ou plutôt puisqu'il s'agit, non d'une égalité, mais d'une congruence, Vt devra toujours être de même parité; de même pour Wi, v,, et c,.

Pour déterminer la parité des noml)res r, il suffit donc d'envisager uu cas pariiculier. Or quand les périodes de x et de )' sont indépendantes, nous avons trouvé

(H,, II,^-=('/h'R -+- «(IV, m' S -+- »(S').

Cette formule subsiste donc dans le cas général. Ainsi, si l'on envisage les deux équations

où 4> et <I>' sont deux fonctions intermédiaires d'ordres ni et m', elles auront 2 mm' solutions distinctes. La somme des 2/nm' valeurs de .r sera égale à m'R-\- mW, et celle des 2nun' valeurs de )■ sera égale à ni'S + m.S' à un multiple près des périodes.

Envisageons en particulier la fonction B de Riemann, c'est-à-dire la fonction 0 du premier ordre.

Soit donc

FONCTIONS ABÉLIENNES. 877

ce qui nous donne pour les quantités a, h, y.^ 3, ■-, ô les valeurs suivantes :

Valeurs de a, 6, 2, [i, y, 0,

o, -lir., o, o, o, o,

|Jl. V, o, I, - ■/, o.

On a donc aussi

Considérons maintenant la fonction

Q{x — lu y — k).

Nous avons vu au paragraphe IV que si l'on faisait subir aux variables x et >'

un certain changement linéaire, les nombres 1 — ^ subiraient précisé

ment le même changement, d'où il suit que R et S qui avaient pour valeurs

zéro pour la fonction

auront pour valeurs h et k pour la fonction

Considérons alors deux équations simultanées

Bi X — h, y — k) = e(x — h', y — k' ) = o.

Ces équations auront deux solutions distinctes. La somme des deux valeurs de jc sera /( 4- h', celle des deux valeurs de y sera k + k' à un multiple près des périodes.

Il serait aisé de voir comment ces résultats peuvent s'étendre au cas où il y a plus de deux variables.

Supposons d'abord qu'il y ail trois variables x, r et ; et trois fonctions ' intermédiaires 'I*, <!•' et <I>'' d'ordres m, m' et m".

On formera pour chacune d'elles trois nombres analogues à R et S que j'appellerai R, S, T pour la première, R', S', T' pour la seconde et R', S", T" pour la troisième.

Si l'on appelle IIi la somme des fimm'm" valeurs de x, H2 celle des 6mm'm" H. P. — IV. 48

'iyS FONCTIONS ABÉLIENNES.

valeurs de y et H3 celle des 6mm'm" valeurs de z qui salisfonl aux trois équations

OQ aura

(Hi, Ho, H;.) = (îin' m"R -i- 2inm"W -h imni'R", 2 in m" S -h 2 mm" S' -i- 2 mm' S", 2 m' m"T -+- 2 mm"T -+- 2 mm'T").

Soient en particulier trois fonctions 0 du premier ordre. Supposons que l'on ait les trois équations

Elles auront six solutions distinctes. La somme des six valeurs de ot sera 2{h + h' + h"), celle des six valeurs de y sera 2(A' + A'+ A") et celle des six valeurs de z sera 2(/+ l'-\~l") à un multiple près des périodes. Plus généralement. Soit

une fonction 0 à p variables. Formons les p équations

(11) e(j:i— /ji.x-, x,— /io,(., .. ., ^p— /ij;,i-) = o (A: = i, 2, ..., p).

Elles auront p ! solutions distinctes.

Si l'on néglige les multiples des périodes, la somme des p ! valeurs de .r,, sera

Si les p fonctions 0 qui entrent dans les équations ( i 1 ) sont toutes paires ou impaires, tous les k sont des demi-périodes. La somme des valeurs de xi sera donc une demi-période si p = 2 et si par conséquent (p — i ) ! est impair. Si au contraire p > 2 et si par conséquent (p — i ) ! est pair, la somme des valeurs de Xi sera une période entière. Or nous n'avons déterminé cette somme qu'à un multiple prés des périodes; on peut donc la regarder comme nulle.

Si donc p > 2 et si l'on forme p équations en annulant p des 4'' fonctions 0 paires ou impaires, la somme des p ! solutions distinctes de ces p équations sera nulle.

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 120, p. 289-243 (4 février i8j5).

Soit

F(u,, II'., ..., u,,)

ou simplement F(m,) une fonction abélienne, c'est-à-dire une fonction à /) varialjles et à zp périodes qui ne change pas quand l'un des arguments augmente de ajTi et qui admet, d'autre part, p autres périodes dites de seconde espcce, de telle sorte que l'on ait

F(Mj-i-«M) = F(«i) (/f = 1, 2, ••••/')•

Les/>- quantités a,/, satisfont d'ailleurs à la condition

Parmi les fonctions abéliennes, je distinguerai celles que j'appellerai spéciales et qui doivent leur origine à une courbe algébrique C de genre p. On sait que pour /; = 2 et pour y? := 3 toutes les fonctions abéliennes sont spéciales, mais qu'il n'en est plus de même pour /?>4-

A l'égard des fonctions abéliennes spéciales, on peut considérer/» intégrales abéliennes de première espèce

qui sont des fonctions des coordonnées x et y d'un point de la courbe C, ou plus simplement encore des fonctions de l'abscisse x seulement. Considérons mainlenanl la fonction 0.

38o FONCTIONS ABÉLIENNES.

On peut éludier ses zéros à deux points de vue difTérenls. On peiil d'abord former /7 équations h p inconnues.

OÙ les e,7, sont p- constantes données. Les équations (i) admettent, comme je l'ai montré, p ! solutions.

On peut encore, comme l'a fait Riemann, s'il s'agit do fonctions spéciales, former une seule équation à une inconnue

où les Ci sont/) constantes données. Le nombre des solutions est alors égal k p. Ces résultats peuvent être généralisés de plusieurs manières difTérenles ;

1° J'appellerai fonction 0 une fonction entière de i<i, W:., ..., Ui, qui, comme la fonction 0, se reproduit multipliée par un facteur exponentiel quand on augmente les m,- d'une période de deuxième espèce et, de plus, ne change pas quand un des «; augmente de 2ii:. Je dirai que deux fonctions 0 appartiennent au même faisceau quand elles admettent les mêmes facteurs exponentiels et qu'une fonction 0 est d'ordre ii quand elle admet les mêmes facteurs exponentiels que

Un faisceau d'ordre n comprend //'' fonctions 0 linéairement indépendantes. Cela posé, s'il s'agit de fonctions spéciales, on démontre aisément qu'jV i a dans un faisceau d'ordre n

ni' -h /> — ii/i — I,

fonctions 0 linéairement indépendantes qui s'annulent identiquement quand on y remplace u, par (',(xj.

2" Supposons toujours qu'il s'agisse de fonctions spéciales et formons les q équations à q inconnues

Ci) e[(',(.C|)H- (■,(x;)-f-...+ t'i(x,/) — e,<] = o (/.- = i,'.'-, ...,5'),

où les en sont pq constantes données.

Ces équations admettent

FONCTIONS ABÉLIENNES. 38l

solutions, en ne regardanl pas comme dislinctes deux solutions qui ne diflérent que par l'ordre dans lequel se présentent les q points

Ce résultat, qui contient connue cas [)articulicrs ceux que je viens d'énoncer au sujet des équations (i)et(2), peutse démontrer par une méthode analogue à celle qui m'a permis d'établir le résultat particulier relatif à l'équation ( i ) {Bull. Soc. math. France, t. XI) (').

Cette méthode consiste à approfondir ce qui se passe dans un cas particulier que j'appellerai cas singulier elliptique, et qui est celui où les aïk^i^^U) s'annulent et où la fonction 0 se décompose en un produit de p fonctions 0 elliptiques. Je me bornerai à dire que, dans ce cas, la courbe C de genre /^ se décompose en p courbes de genre i.

Le résultat de Riemann relatif à l'équation (2) et le mien qui se rap|)orle aux équations (1) entraînent des conséquences qui semblent, au premier abord, mal se concilier entre elles. Le paradoxe, bien entendu, n'est qu'apparent, et tout s'explique par la circonstance suivante :

Soit, par exemple, p = > ; formons les deux équations

j 6(M| Cl, U., e-l. Il;; €;;) = O,

( 6(K| — e'i , lli — e'o, II;; — e'; ) = o.

Si l'on regarde «i, Mj, Uj comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace, ces équations représentent une courbe que j'appellerai A.

Dans certains cas, cette courbe A se décompose. Pour yy = 3, la courbe G se réduit à une courbe plane du quatrième degré sans point double. Les propriétés géométriques de ces courbes planes peruiettent très aisément d'expliquer les circonstances de la décomposition de la courbe A, et le paradoxe s'évanouit.

J'arrive à une autre question.

M. Lie a appelé sur/ace de translation une surface dont les équations peuvent être mises sous la forme

où j?!, 002, Xi représentent les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace et où t et t' sont deux variables auxiliaires.

(') Voir ce Tome IV, p. 17.

3S-2 FONCTIONS ABELIENNES.

On peut de mèiiic appeler variété de translation une variété à p — i dimensions dont les équations peuvent être mises sous la forme

OÙ ^,, x-i, ■ ■ ■ , Xp sont les coordonaées rectangulaires d'un point dans l'espace à » dimensions et où les t sont des variables auxiliaires.

Gela posé, supposons, dans le cas de/> = 3, que «,, «2, W:i représentent les coordonnées d'un point dans l'espace; ou, plus généralement, pour p quelconque, supposons que «i, Ui, ..,, Up représentent les coordonnées d'un point dans l'espace à p dimensions.

Alors Riemann a démontré que, dans le cas de /) = 3, la surface

est de translation. De même pour/) quelconque, et, s'il s'agit de fonctions spéciales, la variété

sera de translation.

On peut se demander si cette propriété est encore vraie pour les fonctions abéliennes non spéciales.

La réponse doit être négati^-e.

On pourrait déduire de là, sous la foi-me d'équations aux dérivées partielles auxquelles doit satisfaire 0, la condition pour que les fonctions abéliennes de périodes données soient spéciales.

Mais je n'ai pas traité la question dans toute sa généralité. J'ai envisagé seulement les cas voisins du cas singulier elliptique, c'est-à-dire que j'ai supposé que, les au restant finis, les an{i^k) sont très petits. On peut alors former aisément les conditions pour que la variété 0 = o soit de translation, en nombre égal à celui des conditions pour que les fonctions abéliennes soient spéciales. Dans le cas dep=: 4) il n'y a qu'une seule condition, qui s'écrit

V'«i««i.-,«.n«2v+ V "i2"i4"2s'''24 = \' " \« " Il "-yiC-ji-

En passant à la limite de diverses manières, on peut être conduit à des résultats intéressants ; c'est ainsi que l'on voit que la surface

jcyz -i-j:-hy-hz = o est de deux manières différentes une surface de translation.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 383

Outre le cas singulier elliptique, il y a un cas remarquable que l'on pourrait appeler le cas singulier abélien; c'est celui où la fonction 0 se décompose en un produit de plusieurs fonctions 0 abéliennes d'un noml)re moindie de variables.

En envisageant un cas voisin du cas singulier abélien, puis en passant à la limite d'une manière convenable, on est conduit à certains résultats inléressanls au sujet des fonctions abéliennes.

On voit, par exentple, rjue certaines surfaces, dont les équations s'expriment à l'aide de fonctions quadruplemenl périodiques de deuxième espèce, sont des surfaces de trauslalion.