I. — Définitions
Je considère un système de fonctions abéliennes de genre p dépendant des p variables
lll, Kl, ■■■, U,,
et admettant j.p périodes.
J'écrirai souvent pour abréger
V(iii) ou F(H,— e,),
au lieu de
Cl, e,, . . . , C/i étant des constantes quelconques.
Si F(«i) est une des fonctions abéliennes considérées et si l'on a
F(m,) = F(u/-i- fil),
on dit que
r/,, II-,, ..., a,,
est une période; on sait que l'on peut toujours supposer que l'on a choisi les
FONCTIONS ABELIENNES.
variables normales et les périodes normales de sorte que le tableau complet des 2p périodes s'écrive
1 "lA,
avec la condition
Les p premières périodes du tableau (i) seront les périodes de première espèce et les p dernières les périodes de seconde espèce.
Une fonction 0 d'ordre n est une fonction entière qui jouit des propriétés suivantes :
i" Quand on augmente les u, de la /,'"""= période de première espèce (c'està-dire quand on change M/, par exemple en Uk+ 2i7r, les autres m, ne changeant pas), la fonclion 0 est multipliée par un facteur constant, que j'appellerai a^;
2" Quand on augmente les Uj de la A''^""^ période de seconde espèce, la fonctioa 0 est multipliée pai- un facteur exponentiel de la forme
de sorte que Les facteurs
ft(«,--4- ^^■.x) = e""<+T<0(«,).
z/, et e""*+Tt
s'appelleront les muUiplicaleurs.
Si deux fonctions 0 ont les mêmes multiplicateurs, on dira qu'elles appartiennoat au mcmQ faisceau.
U est bien connu que, dans un faisceau d'ordre n et de genre /), il y a
nP
fonctions 0 linéairement indépendantes dont toutes les autres fonctions 0 du faisceau sont des combinaisons linéaires.
Parmi les fonctions 0 il y en a une qui est particulièrement remarquable et que j'appellerai 0.
386 FONCTIONS ABÉLIENNES.
C'est la fonclion Lion connue
Se ■ " -
qui est une fonction 0 du premier ordre.
Le cas le plus simple est celui que j'appellerai le cas singulier elliptique; c'est celui où dans le tableau (i) des périodes normales tous les a, /, sont nuls si i^k.
La fonclion 0 est alors le produit de/? fondions 0 elliptiques.
Vient ensuite le cas que j'appellerai cas singulier abélien. II se présentera dans les circonstances suivantes :
Soil
Prenons les p dernières lignes du tableau (i), nous obtiendrons ainsi un tableau à p lignes et p colonnes. Je suppose que tous les éléments de ce tableau soient nuls, sauf :
i" Ceux qui appartiennent à la fois aiw pi premières lignes et aux pi premières colonnes ;
2" Ceux qui appartiennent à la fois aux/)^ lignes suivantes etaux/?^ ciilonnes suivantes;
El enfin ceux qui apfiarlicnnenl à la fois aux p,i dernières lignes et aiix/i,^ dernières colonnes.
S'il en est ainsi la fonclion 0 à p variables sera le produit de (] fonctions 0 admettant respeclivemenlyjf , />.j, ... cA p,; variables.
On sait comment les fonctions abèliennes ont été imaginées; on a considéré une courbe algébrique (piclconque de genre/» et les/) intégrales abèliennes de première espèce correspondantes que j'appellerai V\, Cj, ..., l'y,; supposons alors qu'on prenne sur la courbe p points quelconques, qu'on considère une des intégrales abèliennes t',, et (ju'on fasse la somme ir, des valeurs de cette intégrale en ces p points.
Alors toute fonction symétrique des coordonnées de nos p points sera une fonclion abélienne de
FONCTIONS ABELIENNES. 887
Mais on sait également que toutes les fonctions abélicnnes ue peuvent pas dire obtenues de cette manière.
Un système S de fonctions abélicnnes de genre p dépend de
constantes qui sont les périodes normales cii^k.
Une courbe algébrique de genre p, si l'on ne regarde pas comme distinctes deux courbes dérivées l'une de l'autre par une transformation birationnelle, ne dépend que de 3/> — 3 constantes.
Ces deux nombres sont égaux pour /> = 2 et pour /» = 3 ; mais, pour /» > 3, le premier est plus grand; il existe donc des fonctions abélicnnes qui n'ont pas pour origine une courbe algébrique de genre /J.
J'appellerai fonctions abéliennes spéciales celles qui admettent celte origine.
