II. — Zéros des

Après ces préliminaires sur lesquels j'ai peut-être un peu longuement insiste, j'arrive à l'objet de mon travail qui est l'étude des zéros des fonctions 0. Cette question a été abordée par deux voies très différentes; et par l'une comme par l'autre on a pénétré assez loin à l'intérieur du domaine inconnu qu'il s'agissait d'explorer; mais ces deux voies ne se sont pas encore rejointes, pour ainsi dire; c'est là le résultat que je voudrais atteindre, car je crois quil ne doit plus nous coûter qu'un léger effort.

Dans le Tome XI du Bulletin de la Société mathématique de France (*), j'ai démontré le théorème suivant :

Soient p fonctions 0 qui soient respectivement d'ordres

le nombre de leurs zéros communs sera

Ht II-, . . . riiA P '■ ).

Bien entendu, je ne considère pas comme distincts deux zéros qui ne diffèrent que par des multiples des périodes.

(') Voir ce Tome IV, p. 3o3.

388 FONCTIONS ABÉLIENNES.

Si en particulier l'on considère p fondions 0 d'ordre « appartenant à un même faisceau, le nombre de leurs zéros communs sera

ni'p !

Il en résulte que la relation algébrique qui existe entre /> + 2 fonctions 0 d'ordre «, appartenant à un même faisceau, est d'ordre

ou d'ordre moindre; et il est aisé de vérifier ensuite (ju'en général elle n'est pas d'ordre moindre.

Mais il ne sera peut-être pas sans intérêt de montrer comment on peut arriver au même résultat par un chemin entièrement différent.

Considérons donc /) + 2 fonctions 0 d'ordre n appartenant à un mcine faisceau; soient Oi, O.j, . . . , O/,^^ ces fonctions.

Considérons un polynôme homogène el d'ordre m par rapport à ces p ^r -i fonctions 0.

Les coefficients arbitraires de ce polynôme sont au nombre de

Mais ce polynôme sera une fonction 0 d'ordre

?nn,

et tous les polyncuies ainsi obtenus seront des fonctions 0 apparlenanl au même faisceau .

Or un faisceau de genre p el d'oidre mn ne peut contenir que

fonctions 0 linéairement indépendantes.

Il y a donc au moins

( ii> -h p -^- 1) \

•^ {m)Up^l}<.

de nos polynômes qui s'annulent et qui d'ailleurs sont linéairement indépendants.

Il y a donc au moins, entre nos p + 2 fonctions 0 d'ordre «, ?('«) relations algébriques homogènes d'ordre m, linéairement distinctes.

FONCTIONS ABELIENNES. 389

Soit, d'autre part,

F(fJ,, (),,..., 0,,+,) = o

celle de toutes les relations algébriques entre les p + i fonctions 0 dont le degré est le plus petit.

Soit q ce degré; c'est le nombre q qu'il s'agit de déterminer.

Toutes les autr(!s relations algébriques homogènes entre les />+2 fonctions 0 s'obtiendront en multipliant

par un polynôme quelconque homogène par rap|)ort aux 0. Nous pouvons maintenant répondre à la question suivante :

Combien y a-t-il entre les 0 de relations algébriques et homogènes d'ordre (/+/* linéairement distinctes?

Il y en aura autant rpie de polynômes homogènes d'ordre h linéairement indépendants; car on obtiendra toutes ces relations en multipliant F ;= o par l'un de ces polynômes.

Il y aura donc entre les /< + 2 fonctions 0

(Il + p -v-\)\

relations algébriques homogènes d'ordre q -\- h et il n'y en aura pas davantage. Nous aurons donc, quel que soit le nombre /(,

ou l)icn

^ ' lt'.il<~l)\ ( q -h /l ) l { /> ~ 1 ) \ ' ' '

ou bien

-{q -h hy/ir-^ o.

Tous les termes du premier membre de (1) ou de (1 bis) sont des polynômes entiers en h.

SgO FONCTIONS ABÉLIENNES.

Le premier terme

est un polynôme d'ordre /> + i dont les deux premiers termes sont

Le second terme

est un polynôme d'ordre /? + i dont les premiers termes sont

(/J + Ij! p'. !!(/) + I)!

/iP.

Enfin le troisième terme est un polynôme d'ordre p dont le premier ternie est

nPhP.

Il résulte de tout cela que les termes en h''^' se détruisent el que le |)remicr membre de (i) est un polynôme d'ordre /> en /( dont le premier terme est

Comme le preuiier membre de (i) ne peut être négatif, quelle que soit la valeur positive ou nulle attribuée à l'entier h, le coefficient du terme en h'' ne peut pas être négatif, ce qui donne

(2) q ^nv p\

Il nous reste à faire voir qu'ew gênera/ le nomlire '/ n'est pas inférieur à «'/> 1 c'est-à-dire qu'en général il n'esisle pas entre nos p -j- 2 fonctions 0 de relation algébrique de degré plus petit que n''p !

On peut présenter la chose dans un autre langage.

Envisageons les n'^ fonctions 0 d'un même faisceau de genre p et d'ordre «; considérons ces n'' fonctions G comme les coordonnées homogènes d'un point M dans res[)ace à n'' — 1 dimensions.

Si nous donnons aux y? variables Ui, m.,, . . ., it/, toutes les valeurs possibles, ce point M va décrire une certaine variété V.

FONCTIONS ABÈLIENNES. 39I

Celte variété V sera située dans l'espace à «'' — i dimensions; elle aura ellemême [) dimensions; elle sera algébrique; son degré sera au plus égal à n'' p !

Je me propose d'établir quen général ce degré n'est pas inférieur à n'' p 1