III. — Cas singulier elliptique

Pour cela, il me suffit de montrer qu'il en est ainsi dans un cas particulier; car, si la réduction du degré avait lieu en général, elle devrait avoir lieu aussi dans ce cas particulier.

Le cas particulier que je choisirai est celui que j'ai appelé cas singulier elliptique.

Voyons comment on peut dans ce cas former les n'' fonctions 0 du faisceau.

Considérons un premier système de fonctions elliptiques dépendant de la

variable «i; formons avec cette variable Ui un faisceau d'ordre n el de genre i de fonctions 0 elliptiques. Soient

(1) 81,,, fil,-., ..., I)i,„

les 71 fonctions de ce faisceau.

Soient de même

n fonctions 0 elliptiques de la variable «21 formant un faisceau d'ordre n et de genre i .

Et ainsi de suite.

Soient enfin

(/>) ft/.i- fi/.,. '>,'."

n fonctions 0 elli[>liqucs de la variable Up, formant un faisceau d'ordre n el de genre i .

Cela posé, prenons une fonction dans le tableau (i), une dans le tableau (2), etc., et enfin une dans le tableau (/>). Faisons le produit de ces p fonctions; nous obtiendrons une fonction 0 abélicnne à p variables répondant au cas singulier elliptique.

Comme cliacun des tableaux (1), (2), . . ., (p) contient n fonctions différentes, on obtiendra W fonctions 9 abéliennes àp variables, linéairement indépendantes et formant un faisceau d'ordre n et de genre yj.

392 FONCTIONS ABELIENNcS.

Ce sont ces n'' fonctions 0 abéliennes que je regarde comme les coordonnées homogènes du point M qui engendre la variété V , dans l'espace à n'' — i dimensions.

Un premier point, fort important, est le suivant : pour que deux systèmes de valeurs de Wi, «2, . . . , u,, correspondent à un même point de V, il faut et il suffit que la différence de ces deux systèmes de valeurs soit une période.

En effet, pour que ces deux systèmes correspondent à un même point de V, il faut et il suffit :

i" Que les rapports des fonctions 0 elliptiques

(l) Ol.l, "l.îl ••■! "1,//

reprennent les mêmes valeurs, c'est-à-dire que les deux valeurs de u^ dillérenl d'une période;

2° Que les rapports des fonctions 0 elliptiques (2) reprennent les mêmes valeurs, c'est-à-dire que les deux valeurs de Un dilTérent d'une période, etc., et enfin que les rapports des fonctions 0 elliptiques {p) reprennent les mêmes valeurs, c'est-à-dire que les deux valeurs de Uj, diffèrent d'une période.

Il y a exception pour « = 2 ; dans ce cas, en efTcl, il n'y a dans le tableau (1), par exemple, que deux fonctions elliptiques Oii, Oi^s et le rapjiort de ces deux fonctions peut reprendre la même valeur, sans que les deux valeurs de u^ différent d'une période.

Pour évaluer le degré de la variété V, il faut la couper par une variété plane (c'est-à-dire algébrique et du premier degré) ayant n'' — p — 1 dimensions et compter le nombre des points d'intersection. Une pareille variété plane, que nous pouvons d'ailleurs choisir arbitrairement, sera définie par p équations linéaires entre les coordonnées courantes.

Soient donc

/; combinaisons lin(''aires des fonctions 0 elliptiques (i).

Soient de même

'Ui.\, ■^2,;. ••■> '^r-.p

p combinaisons linéaires des fonctions elliptiques (2), etc. Soient enfin

'''l/'ll '''l/'.'-V • • ■ , '1/',/'

p combinaisons linéaires des fonctions elliptiques (/>).

FONCTIONS ABÉLIENNES. SgS

Considérons les équations

\ ■ni./'"r|2,,, . . . T,/,,/,= o.

Les premiers membres seront des fonctions linéaires des /;'' fonctions 0 abéliennes de notre faisceau, c'est-à-dire des coordonnées courantes.

Les équations (3) définiront donc une variété plane P.

Il est aisé d'évaluer le nombre des solutions distinctes des équations (.1) en ne considérant pas comme distincts deux systèmes de valeurs des u qui ne diffèrent que d'une période.

Cette évaluation est presque immédiate, et je l'ai déjà faite dans le Mémoire cité plus haut du Bulletin de la Socictc malhcmatique de France. Le nombre des solutions est n'' p !

A chacune do ces solutions correspond, comme nous l'avons vu, un point de V et un seul.

Ainsi le nombre des points d'intersection de V et de I* est égal à ni' p !

La variété V est donc du degré n'' p !

En résumé le degré de la variété V ne peut s'abaisser que dans des cas exceptionnels.

Je ne m'arrêterai pas à rechercher quels sont ces cas exceptionnels. ,Io rappellerai seulement que le cas de n = 2 est toujours excepté et qu'il y a de cette exception un exemple bien connu.

Soit

y = ■', n — -i; d'où

ni' p ! = S, nr = \;

dans ce cas la variété V se réduit à une surface dans l'espace ordinaire à trois dimensions.

Dans ce cas, le degré se réduit; et V est une surface de Rummer du quatrième degré.