IV. — Théorème de Riemann
Dans les deux numéros qui précèdent et dans mon Mémoire du Bulletin de la Société mathématique, j'ai exposé un premier moyen d'étudier les zéros des fonctions 9. Mais il y en a un autre, entièrement diflérent et qui est dû à Riemann.
H. P. — IV. 5o
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II ne s'applique qu'aux fonctions abéliennes spéciales, au sens donné à ce mot au paragraphe I.
Considérons donc un système S de fonctions abéliennes spéciales, c'està-dire devant leur existence à une courbe algébrique C de genre/».
A cette courbe appartiendront p intégrales abéliennes de première espèce
('I, Cj, ..., i-,„ corres[)ondanl aux variables
U\, II.. . . ., Up.
Soit [x, y) un point de la courbe C; les r; seront des fonctions de x cl àe y qui ne sont pas des variables indépendantes, mais qui sont liées par l'équation de la courbe.
On aura
f/r, est une fonction rationnelle bien déterminée de (2, }), de dx et de dy; mais (■/ ne sera entièrement définie en fonction de x et de y (à une période près, bien entendu) que quand on se sera donné la limite inférieure d'intégration, c'est-à-dire le point (a:,,, y„).
Nous verrons un peu plus loin comment ce point (ar,,, r„) doit être choisi; mais je dis tout de suite que ce point ne sera pas le même, en général, pour lcs/3 intégrales
l'i, «'2, ..., iv„
de sorte qu'en général ces p intégrales ne pourront pas .^'annuler à la fois. Voici maintenant l'énoncé des lliéorémes découverts par Riemann :
Considérons la fonction 0 définie plus haut, qui est paire et du premier ordre.
Soient Cl, ej, . . ., c,, p constantes quelconques; formons l'équation
Comme les c; sont des fonctions de x et de y, cette équation (i) est une équation en x et y, définissant un point {x, t) de la courbe C. Comme y et x ne sont pas deux variables indépendantes, je dirai désormais, pour abréger le langage, le point x au lieu du point {x, y).
FONCTIONS ABÉLIENNES. 31)5
Riemanu a d(''nionl,ré que celle équalion (i) admcl/J soliilions. Soienl
■rl'i, xf-'\ ..., arl/'l
ces p solulions el soient
Mil) ^(2) ,,'/')
les valeurs correspondantes de l'iulé^rale r, ; Ricniann n montré que Fou a
(2) et= c;."+ «'p'-i-- • ■-•- (•;'"-(-«;
(les Ci étant des constantes indépendantes de e,, e.., ..., e^), cela, bien entendu, à un multiple prés des périodes.
Je dis maintenant qu'on peut choisir les limites inférieures d'intégration, de façon que les constantes c, soient nulles.
Ces limites d'intégration, que j'ai appelées plus haut (^oij'o)) sont restées jusqu'ici arbitraires.
Changer les limites d'intégration, c'est changer r,- en (',+ /(,-, les A, étant des constantes. Mais il faut en même temps changer e, en e,-|-/'/, de façon que r, — e, ne change pas.
Quant aux
ils se changent en
11 suffit donc de prendre
pour satisfaire à la question.
Nous pouvons donc toujours choisir les limites inférieures d'intégration de façon que les relations (2) s'écrivent
(■.>.bis) ei=t-'^' -hiY'-r~...-i-vy'K
Cette démonstration est en défaut quand le dénominateur/» — i s'annule; c'est-à-dire pour les fonctions ellipliijues. Dans ce cas, en effet, la relation (2)
ne peut pas se mettre sous la forme (2 bis) et c,, quelle que soit hi limite infé-
396 FONCTIONS ABÉLIENNES.
rieure d'iatàgralion, est égal à la demi-somme des périodes normales. On sait, en effet, que la fonction 0 elliptique s'annule quand la variable est égale à celte demi-somme.
Le théorème le plus important est le suivant :
Pour que
il faut et il suffit que «, puisse se mettre sous la forme
OU bien encore (ce qui revient au même) : Pour que
il faut et il suffit que m, puisse se mettre sous la forme
;ii = — l^^"— f|^l — ...— i^;/'-".
Insistons un peu sur la signification de ce résultat. Supposons, par exemple, /> = 3 et considérons l'équation
Si nous regardons «,, «.., «:, comuie les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace, cette équation représente une surface, et les équations de cette surface peuvent être mises sous la forme
''i") '"'.' 1 '','' sont fonctions d'une seule variable .r'"; ^•"^' , f'.,-', r'^-' sont fonctions d'une seule variable x'--K
Il en résulte que notre surface peut être eugendrée de la manière suivante : Une courbe se déplace d'un mouvement de translation sans se déformer et de telle façon qu'un de ses points décrive une courbe fixe. Une surface susceptible de ce mode de génération s'appelle une surface de translation.
Plus généralement, si l'équation
FONCTIONS ABÉLIENNES. 897
admet une solulion de la forme
II, t.,, . . ., tp^i étant /> — I variables indépendantes, je dirai que i'('Cjiiation (3) e.st lranslal/\'e.
Alors, d'après ce qui précède, l'équation
sera translative pour tmit sjstène de fonctions abéliennes i/J6-f;/a/ au sens donné à ce mot au paragraphe I.
On peut alors se demander si celte propriété est encore vraie pour des fonctions abélienncs non spéciales.
Parmi les autres résultats obtenus par Riomann, je citerai seulement les suivants :
Un système de valeurs quelconque
e\ , e-if ■ ■ - , C/»
peut étie toujours mis sous la forme
e,- =(.;."-)- ifi -H... + if",
et en général il ne peut l'èlre que d'une seule manière; pour que cela puisse se faire de plusieurs manières (et alors d'iiue infmilé de manières), il faut (!t il suffit que
soit identiquement nulle; ou ce qui revient au même, il faut et il suffit qu'on puisse mettre les ei sous la forme
Soit maintenant un système de valeurs loi que
3gS FONCTIONS ABÉLIENNES.
Les l'i peuvenl toujours èlre mis sous la forme
En général, cela n'est possible que d'une manière et il n'y a exception que si toutes les dérivées du premier ordre de 0 s'annulent en même temps que 0.
