V. — Extension du théorème de Riemann

Considérons maintenant un faisceau d'ordre n et de genre p. Soit 0 une fonction de ce faisceau; formons l'équation

En raisonnant tout à fait comme l'a fait Riemann, on verrait que cette équation (si elle n'est pas identiquement satisfaite) admet np solutions.

Soient

ces np solutions, c'est-à-dire les np points de la courbe C qui satisfont à la question. Soient

les valeurs correspondantes de l'intégrale i\. Le raisonnement prouve encore que l'on a

les C,- étant des constantes qui sont les mêmes pour toutes les fondions 0 du faisceau.

Je dis que les étiualions (2) peuvent nous permettre de déterminer yj des points xf quand on connaît les (n — i) p autres.

En elfel, considérons l'une quelconque des fonctions 0 du faisceau et soient

les np solutions correspondantes do l'équation (1); par les /;/) points :z'„" je fais passer une courbe adjointe quelconque IL Cette courbe H coupera la courbe C, en dehors des points doubles et des points x'^', en un certain nombre d'autres points que j'appelle

^'D 7.(21 j.fW

FONCTIONS ABÉLIENNES. 899

Alors les équations (2) signifieront que les points x''^ et les points x/'' sont sur une même courbe adjointe de même degré que H.

Je puis toujours supposer que le degré de H est supérieur à celui do C diminué do trois unités. On sait que dans ce cas on peut choisir arbitrairement tous les points d'intersection, saufy; d'entre eux.

Par les /j- points ./,'" et par (« — i)p des points x^'> je pourrai doue toujours faire passer une courbe adjointe de même degré que H et, en général, je n'en pourrai faire passer qu'une seule. Les/? autres points ,r'" se trouveront donc ainsi déterminés.

J'ai dit que dans un faisceau il y a nP fonctions 9 linéairement indépendantes. Le premier membre de l'équation (i) (si la fonction 0 est la plus générale du faisceau) contient donc n'' coefficients arbitraires que j'appellerai A et dont il dépend linéairement.

Disposons des A de telle façon que l'équation ( 1) soit satisfaite pour (« — 1 )p points donnés quelconques de la courbe C, à savoir

(4) x(", xi-^\ ..., a:i''P-P\

il en résultera, d'après ce qui précède, qu'elle sera également satisfaite pour/) autres points de la courbe C, à savoir

qui sont déterminés par les (« — i)p premiers.

Disposons encore des A de telle façon que l'équation (i) soit satisfaite pour un autre point de C diflérent des points (4) et (5).

La fonction 0 devrait alors s'annuler pour «/) + 1 points différents, ce qui ne peut arriver que si elle est identiquement nulle.

Ornons avons introduit, entre les A. des relations linéaires au nombre de np —p-\-i ; il reste donc

n/' -+■ p — np — I

coefficients A arbitraires.

Il existe donc dans notre faisceau n'' -\- p — np — i fonctions 0 linéairement indépendantes et qui s'annulent identiquement quand on v remplace les variables indépendantes «,■ par les intégrales vi.

Cela peut se traduire dans un autre langage.

Reprenons la variété algébrique V définie au paragraphe IIL Je rappelle

/JOO FONCTIONS ABÉLIENNES.

qu'elle est de degré n^p !, qu'elle appartient à l'espace à «'' — i dimensions et qu'elle a elle-même/) dimensions.

Considérons un point dont les coordonnées homogènes soient précisément les /;'' fonctions 0((',); ce sera un point de la variété V.

El quand le point x décrira la courbe C, ce point de la variété V décrira une certaine courbe (ou variété à une dimension) que j'appelle B.

Cette courbe B, qui fait partie de V, est de genre p comme la courlje C à laquelle elle correspond point par point.

Pour trouver son degré, il suffit de chercher le nombre de ses points d'intersection avec une variété plane à tV — 2 dimensions; c'esl-à-dire le nombre des solutions de léquation (1).

Nous avons vu que ce nombre est égal à np : la courbe B est donc de degré np.

Enfin, d'après ce qui précède, il j a entre les coordonnées d'un point de B

nP — np -\- p — I

relations linéaires à coefficients constants. Ces relations définissent un espace plan à (/> — i)p dimensions.

La courbe B fait donc parlie d'un espace plan à (n — i)p dimensions.

Soient par exemple n =^ ■>.. /j = 2 ; d'où

la variélé V est alors une surface de Kummer du quatrième degré dans l'espace ordinaire et la courbe B, qui sera <lu qualrièuie degré- sera plane. Considérons maiiil»'nant l'équation

(6) O(i.,-e,-) = o,les quantités

(7) e\, Ci, .. , r,,

étant /) constantes quelconques. Elle jouira <les mêmes propriétés que l'équation (1); la démonstration serait la même; elle est d'ailleurs inutile, car, si les fonctions 0(î/,) forment un faisceau, il en sera de même des fonctions 0(z<; — e,). Si donc lus n'' fonctions 0(r, — e/) sont les coordonnées homogènes d'un point, ce point, (juand ./• décrira la courbe C, décrira une certaine courbe B' située sur V.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 4oi

Celte courbe B' sera de degré np, de genre p el sera située dans un espace plan à (« — \)p dimensions.

Il y aura une />-uple infinité de courtes B'; par chaque point de V passera une infinité de ces courbes.

Deux de ces courbes en général ne se rencontreront pas; les deux courbes correspondant à deux systèmes de valeuis

e, et e[

des quantités (7) ne pourraient en effet se rencontrer que si l'on peut trouver deux points x et x' sur C tels que

e,— e; = fj— v\.

Cela n'arrivera pas en général sauf pour p -^ 1.

Nous savons toutefois que l'on peut trouver sur une variété V quelconque deux courbes B' qui ont au moins un point conimum, puisque par tout point de V passent une infinité de courbes B'. Mais on peut se demander si deux courbes B' peuvent se rencontrer en deux points.

Pour cela il faudrait que l'on pût trouver sur C quatre points, a", x\ ^", J.'" , tels que

d'où

Une égalité telle que (8) est-elle possible?

Les théorèmes de Riemann énoncés à la fin du numéro précédent nous fourniront la réponse.

Si/J;=2, l'égalité (8) est possible; nous pouvons supposer que la courbe C est une courbe du quatrième ordre avec un point double. La condition pour que l'égalité (8) soit satisfaite, c'est alors que les points x et x'" d'une part, x' et x" d'autre part soient en ligne droite avec le point double.

Si/>> 2, l'égalité (8) ne serait possible que si la fonction© pouvait s'annuler en même temqs que toutes ses dérivées du premier ordre. Or cela n'arrivera pas en général, je veux dire pour ua système S quelconque de fonctions abéliennes.

Par conséquent on ne peut pas, en général, trouver sur la variété V deux courbes B' qui se coupent en plus d'un point.

H. P. - IV. 5i

4o2 FONCTIONS ABELIENNES.