VI. — Examens des cas singuliers elliptiques
Voyons ce que deviennenl ces résultats dans les cas singuliers et commençons par le cas singulier elliptique, où la fonction 0 est le produit de p lonctions
0 elliptiques.
Soit d'abord/» = 2.
Considérons notre variété V de degré 2 n- et les courbes B' de degré 2 n tracées sur cette variété.
Considérons en particulier la courbe B.
Cette courbe peut être regardée comme définie par l'équation
Ui = Vi
ou bien
Dans le cas singulier elliptique on a
e(«,) = ei(«i)s.i("-2),
01 et 0j étant des fonctions© elliptiques; de sorte que l'équation de la courbe B se décompose en deux
La première nous donne
y.i étant la demi-somme des périodes de la fcjncliou 0i ; la seconde nous donne de même
, Un = Oti.
La courbe B se décompose donc en deux autres, ayant respectivement pour équations
!<i = ai, «2 = ai.
Quel est le degré de chacune d'elles et en particulier de la courbe «1 = a, ?
Soit 0(«() une fonction quelconque du faisceau qui nous a servi à former la variété V; ce sera une fonction 0 abélienne d'ordre n et de genre 2 qui sera une fonction linéaire à coefficients constants des 11- fonctions 0 fondamentales du faisceau; c'est-à-dire (avec le mode de représentation géométrique adopté pour
FONCTIONS ABÉLIENNES. 4o3
la définilion do la variété V ) des coordonnées homogènes courantes dans l'espace an- — i dimensions.
L'équation
est donc celle d'une variété plane P à n- — 2 dimensions. Pour déterminer le degré de la courbe M( = «i, il faut chercher en combien de points elle coupe la variété P.
Or si l'on l'ail Mi =; zi le premier membre de (1) devient une fonction 0 elliptique d'ordre 71 par rapport à ii-,; l'équation (i) admet alors n solutions.
La courbe i<i= a, est donc de degré n.
Ainsi la courbe B qui, dans le cas général, est de degré 2 7i et de genre 2, se décompose dans le cas singulier en deux courbes de degré n et de genre 1 .
11 est clair qu'il en est de même de toutes les courbes B'.
Le cas de h = 2 est toujours excepté; examinons donc le cas de n = 3.
Dans le cas général, si n = 3, la courbe est du sixième degré et du genre 2; c'est une courbe gauche dans l'espace à (/i — i)y> r= 4 dimensions. Dans le cas singulier, elle se décompose en deux courbes du degré 3 et du genre 1 cjui doivent être toutes deux planes. Ces deux courbes ont un point commun !/] = «,,
Si nous projetons la courbe B sur un plan quelconque, la projection sera, dans le cas général, une courbe du sixième ordre avec huits points doubles; dans le cas singulier, elle se décomposera en deux cubiques se coupant en neuf points; elle acquerra donc un point double de plus.
Passons au cas de/) = 3 et proposons-nous de trouver ce que devient la courbe B dans le cas singulier elliptique.
Cette courbe a pour équation
et doit satisfaire aux théorèmes de Biemann.
Il est clair que l'on peut satisfaire à ces liiéorémes en supposant que la courbe B se décompose en trois autres ayant respectivement pour équations
4o4 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Par exemple,
(3) e(KiH- v\ ) = e,(Pi+ (.',) e,(c,-i- 14 ) 63(t'3+ c'a )
sera idenliquemenl nul.
En efiel, si la courbe B se décompose en trois autres définies par les équations (2), il est clair que deux des trois équations
ai OLn «3
Vi=—1 Vl= ^t l'3= —
devront être satisfaites. De même deux des trois équations
, «1 , «o .as
fi = — ) (),= —, C3 = —
devront être satisfaites. Il en résulte que l'une des trois équations
(•(+ i'] = xt (J = I, 2, 3)
devra être satisfaite. Donc l'un des trois facteurs du second membre de (3) devra s'annuler. Donc
Malheureusement cette solution n'est pas unique. On satisfait également aux théorèmes de Riemann en supposant que la courbe C se décompose en trois autres ayant respectivement pour équations
h désignant une constante quelconque.
Un eiameu plus approfondi est donc nécessaire.
Voici comnient nous y procéderons. Ne nous supposons plus dans le cas singulier elliptique, mais dans un cas très voisin de ce cas singulier. Supposons, en d'autres termes, que, dans le tableau (1) du paragraphe I, les quantités
ai
ai
FONCTIONS ABÉLIENNES. 4o5
(que j'appellerai termes diagonaux) sont finies, mais que les quanlilés
at,k (i k)
(que j'appellerai termes latéraux) sont inlînimcnt petites du premier ordre sans être nulles.
Etudions maintenant la courbe définie par les équations
I B(ui— e'i) = o,
OÙ les a et les e,' sont six constantes quelconques. Cette courbe, que nous appellerons A, jouit de diverses propriétés.
Nous savons que, pour un choix convenable des constantes e, et ej , elle se décompose en plusieurs autres, parmi lesquelles la courbe B (ou bien une courbe B').
Pour aborder l'étude de cette courbe A, observons que la fonction 0 dépend non seulement des u, mais desrt/^^., el peut se développer suivant les puissances de ces quantités. Nous allons efiectuer le développement suivant les puissances des termes latéraux que nous avons supposés très petits. Nous avons
e = Se '■ p 5 .
calculons les premiers termes du développement, à savoir ceux d'ordre zéro et d'ordre i .
D'abord le terme d'ordre zéro s'obtiendra en annulant les termes latéraux aij,{i^k); on voit que la fonction 0 se réduit au produit de trois fonctions 0 elliptiques, à savoir
e = eiOjOn,
où
6,= Se - .
Cherchons maintenant le coefficient de «...:, par exemple. Le terme général de 0 contient le facteur
Si nous développons ce facteur suivant les puissances croissantes de a-, ■,, il devient, en négligeant les termes du deuxième ordre.
I — (7n nm-, nis.
4o6 FONCTIONS ABELIENNES.
Le coefficient de rt,3 dans le développement de f» sera donc
Ij mi »j —
c esl-a-dire
Je pose, bien entendu,
Ainsi les premiers termes du développement de 0 (en négligeant les termes du second ordre) seront
(6) e = e,9.,9n— ««.sBiO'oB':, — «,3e,e',e'3— «,,,930', o;-i-....
J'aurai à revenir dans la suite sur ce développement et à calculer les termes d'ordre supérieur. Ceux-ci me suffisent pour le moment. Etudions l'équation
Gomme les 0 et leurs dérivées ne peuvent devenir infinis, 0 ne peut s'annuler que si le premier terme du développement (6)
est infiniment petit du premier ordre, sans quoi ce terme ne pourrait se détruire avec aucun autre.
L'un au moins des trois facteurs Oi, O2, 0;, doit être infiniment petit, c'està-dire que l'une au moins des trois quantités m, doit être infiniment voisine de a, (à une période près, bien entendu).
Comme je puis choisir deux d'entre elles arbitrairement, je supposerai que «2 fit Ma aient des valeurs qui ne soient pas très voisines de «j et «;,, mais d'ailleurs quelconques.
Alors les deux facteurs O2 et 0;, sont finis; et le facteur 0,, de même que Ml — «), doit être infiniment petit du premier ordre.
Le premier membre de l'équation (7) est développable suivant les puissances croissantes de
Mi — a,, ai 2, «2,3, «1,3.
L'équation est satisfaite quand toutes ces quantités s'annulent.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 407
Enfin le coefficient du terme en Ui — ai est égal à
0', (o:,)fl2(!<2)0:,(«3)
et ne s'annule pas puisque w.> n'est pas égal à a^ ni ^^;, à «3.
Donc, en vertu d'un théorème bien connu, l'équation (7) pourra être résolue par rapport à Ui — xi, cette quanlilé étant développable suivant les puissances croissantes des termes latéraux o/f .
Les premiers termes du développement, en négligeant ceux du second ordre, seront
Ce développement est valable quand les termes latéraux oy /, sont assez petits et quand «2 n'est pas voisin de a-,, ni ;<;, de <X;,.
Donnons donc à Mo et à M;, des valeurs quelconques «" el u" que je suppose n'être pas très voisines de a-, et de «3; le développement (S) nous donnera la valeur correspondante h" de »i qui sera très voisine de «).
Puisque
nous pourrons poser
où ('° et f/ sont deux valeurs particulières de l'intégrale que j'ai appelée (',-, correspondant à deux points particuliers de la courbe C que j'appellerai Xo el X|.
Alors il existera deux courbes remarquables
(/,= 1^,-1- vj (courbe B,), Ui= Vi+ vj' (courbe Bo).
Je dis que ce sont deux courbes; en effet c^ et i'" sont des constantes, puisque je regarde les points x„ et Xi comme fixes; c, est une fonction d'une seule variable indépendante, puisque celte intégrale dépend seulement du point x, mobile sur la courbe C.
Ces deux courbes Bo et Bi passeront toutes deux par les points
Ce sont ces deux courbes que je me propose d'étudier en détail.
4o8 FONCTIONS ABÉLIENNES.
J'ai supposé que je faisais tendre les termes latt^rauï a,,/, vers zéro; pour fixer les idées, je vais poser
les [3,-^/; étant des constantes et t un paramètre que je vais faire tendre vers zéro. Ecrivons alors l'équalion (8) sous la forme
(8 bis) Ui=: F(u-2, Us):
le second membre se trouve développé suivant les puissances croissantes de t. Désignons par
dx dxles dérivées de i',- par rapport à a: et par
dvl d^vP drl d-i y} dxd dx% r/xi d.r\
les valeurs de ces dérivées pour :c ;= a;o et pour x ^= x^. Le long de la courbe B,,, on aura
du, - du-i Au point Ui^ u^ en particulier, on aurait
' du-, ■ du, ^'
en appelant -j-^ la valeur de -r— pour «,-= m"
fclt i Cl II i
la -■' -■-
iui
On en déduira
On trouverait de même, pour la courbe B,,
Les équations (8), (9) et (10) suffiraient pour définir les courbes Bo et Bi si l'on connaissait les deux constantes
dv% di'l ■4'
FONCTIONS ABÉLIENNES. 4'J9
Pour abréger l'écriture, je supposerai que i'° a été exprimé en fonclion de i^^ et l'I en fonction de r^ et je poserai
dv'„ dU-\
de sorte que les équations (9) et (10) s'écriront
. ^. , /'/F «'F„\ /r/F rfF„\
, ^. , I d¥ r/F„\ /./F rfF„\
Cherchons à déterminer les deux constantes ; et yj.
Soient x et x' deux points quelconques mobiles sur la courbe C. c; et l'j les valeurs correspondantes de l'intégrale r,-.
Si l'on reprend alors l'équation (8) et qu'on j fasse
«3= <•--»- v'~, on aura aussi
Considérons fj et 1^3 comme fonctions de Co, <"', et f!, comme fonctions de f;.
Alors !<i, î<2 et u-i, et aussi F(!<2, Mh), seront des fonctions des deux variables indépendantes Cj et c',. On devra avoir
d^Ui
dv« dv puisque
l'j dépendant seulement de Co et i\ île f', .
Nous pourrons donc écrire, en tenant compte de (8),
rf-2F d^F d^F f/'F
iv2 dv H. P. — IV.
dVidv, dvidv- dvidv-- dv^dv^-
4io FONCTIONS ABÉLIENNES.
Les premiers membres des équations (i i) s'expriment aisément à l'aide des dérivées de F par rapport aux u et des quatre dérivées
^ ^' dvi (h>\ dv'- dv'^
Les équations (i i) sont donc quatre relations entre les quatre dérivées (12). Si l'on j fait
elles deviendront quatre relations entre les quantités
Ce sont ces quatre relations que nous appellerons les équations (i3).
Nous tirerons ^ et y) de ces équations (i3) et les équations (9 bis) et ( 10 bis) nous feront connaître alors toutes les courbes B„ et Bj.
Les premiers membres de toutes nos équations sont développés suivant les puissances de t; mais les équations (9) à (i3) contiennent t en facteur et il convient de lu faire disparaître; nous remplacerons donc les équations (9 bis), (10 bis) et (i3) par les équations (9 ter), (:o ter) et (i3 bis) obtenues en divisant les premières par t.
Si nous supposons t ^ o ces équations vont prendre une forme très particulière. On a, en effet, pour t ^ o,
et je puis observer que le second membre est la somme d'une fonction de M2 et d'une fonction de u^ que je puis écrire
Les premiers membres des équations (i3 bis) sont alors des polynômes du deuxième degré au plus en ^ et -n, du premier degré au plus en ^' et r,'.
Eliminant f' et r/ entre les trois dernières équations (i3 bis), il reste deux relations entre ï et y), l'une du premier degré, l'autre du deuxième. Il semble donc (|ue le problème comporte deux solutions. Mais ces deux solutions se confondent en une seule qui est
Ç = Tl = o, |'=V=o.
Ainsi les équations {i3bis) comportent pour t = o une solution double et
FONCTIONS ABELIENNES. 4"I
l'on en conclura que pour t = o le jacobien des premiers membres de ces équations par rapport, aux quatre inconnues ^, rj, \' , rj' sera nul; d'où il résuite une petite difficulté.
Ne supposons plus ^=o; les premiers membres des équations (i3 bis) sont développables suivant les puissances des inconnues et de t.
Si le jacobien dont je viens de parler n'i'lait pas nul, nous pourrions, par un théorème bien connu de Caucliy, conclure que les inconnues ^, rj, £', r/ sont développables suivant les puissances de t.
Ici je ne puis raisonner ainsi, mais comme la solution
I = Tl = I' = T)' = o
est double seulement, nous conclurons que ï, r), ^', r/ sont développables suivant les puissances de y//; les développements commenceront par des termes du premier degré au moins en yt; et par conséquent infiniment petits au moins
d'ordre -•
Un examen plus approfondi montrerait, je pense, que ^, -n, ^', v' sont développables suivant les puissances de /, mais je ne l'ai pas vérifié. Gela ne m'est d'ailleurs pas nécessaire pour mon objet actuel.
Substituons la valeur de Ç ainsi trouvée dans l'équation (9 1er); le premier membre de cette équation sera développé suivant les puissances de \/t (le développement ne contiendrait vraisemblablement que des puissances paires).
Pour < = o, f devient nul et l'équation (9 ter) se réduit à
ou a
On peut alors, d'après le théorème de Cauchj, résoudre l'équation (9 ter); on trouve u^ développé suivant les puissances croissantes de \/t et de u-^ — a"; pour ^ := o, Uo se réduit à ul.
D'où l'équation de la courbe B^
\ Mi = z, + mi,,2^(aS)-hlii,,3g^(j<,) \-hht <Ji, f M, = ui-i- h \Jt.
Je désigne par ht'' un ensemble de termes procédant suivant les puissances entières de yt et commençant par un terme en t'\
^12 FONCTIONS ABELIENNES.
On aurait de même, pour l'équalion de la courbe B),
l îil = a, -H 4 fil,, l"- (u,)-i- p,,, ^ ( «5 )1 + A< y/?,
f f/3= !i2 + /t ijt.
Considérons maintenant une courbe remarquable que je vais appeler B* et qui a pour (équation
Ui= 21',-.
Supposons que le point u" soit un point de cette courbe; on aura alors
et la courbe Bi devra se confondre avec B„. La comparaison des équations (i4) et (i5) montre que ces courbes ne peuvent se confondre; à moins toutefois que les développements (i4) et (i5) ne soient pas valables. Or nous avons vu qu'ils ne cessent de l'être que si u^ est voisin de «2 et u^ de «:,.
Ainsi en un point de B* la fonction 0 devant s'annuler, l'un des m, devra être très voisin de a,-; soit par exemple Ui très voisin de «i, ce qui nous conduite l'équation (8); alors, d'après ce que nous venons de voir, Wj devra encore être très voisin de «2 ou 113 de a^.
Eu un point de B*, deux des m, devront donc être très voisins do a,; en résumé, dans le cas singulier elliptique, la courbe B* se décompose en trois autres ayant respectivement pour équations
u, = a,, us= a.T,
m = ai, u« = «o.
11 est aisé d'en déduire ce fjui arrive pour la courbe B qui a pour équation
lli = Vi.
Elle se décompose en trois autres ayant respectivement pour équations
ai
Voyons maintenant quel est le degré de chacune d'elles.
Soit/? = 3, «>2; la couri^e B est, eu général, d'ordre 3« et de genre 3; dans le cas singulier elliptique, elle se décompose en trois courbes d'ordre n et de genre i .
On arriverait au même résultat dans le cas de/» = 4- Si les termes latéraux tendent vers zéro, de façon (jue les fonctions abéliennes restent spéciales (je suis obligé d'ajouter celte restriction parce que, pour/? > 3, les fonctions ne sont pas toujours spéciales; d'ailleurs, si elles ne l'étaient pas, la courbe B cesserait d'exister), la courbe B se décompose à la limite en quatre autres qui sont de degré rt(n>2) et de genre i et qui ont respectivement pour équations
Mi =
ai
Mi =
