VII. — Généralisation du théorème de Riemann

Proposons-nous maintenant le problème suivant : Riemann a montré combien l'équation

(i) e(^',-ei) = o

admet de solutions; proposons-nous les deux équations simultanées

( e(vi-h v'i —e, ) = 0,

OÙ les e; et les e\ sont 2/) constantes quelconques et où nous avons deux inconnues, à savoir les points x et x' de la courbe C qui correspondent aux intégrales vi et v'i .

Cherchons combien ces équations admettent de solutions.

De même, considérons les trois équations simultanées suivantes (avec trois inconnues x, x' et x"),

!B(p,-!- v't -\- v" — ei) =0, e(i'i+ v'i -+-(•," — e; ) = o, e(i',+ v\ -i- v" — e'l) = o,

4l4 FONCTIONS ABÉLIENNES.

Plus généralement, envisageons q équations simultanées à q inconnues,

Combien ces équations admettront-elles de solutions?

On peut, dans l'évalualion du nombre de ces solutions, se placer à deux points de vue différents.

Au premier point de vue, nous ne regarderons pas comme distinctes deux solutions que l'on déduit l'une de l'autre en permutant les q points inconnus de la courbe C,

et, par conséquent, les q intégrales correspondantes

Vl, l, , . . . , 1^1 '

Au second point de vue, on regardera ces deux solutions comme distinctes.

II est clair que le nombre des solutions, évalué au second point de vue, sera ql fois plus grand que le nombre des solutions évalué au premier point de vue.

Il y a deux cas où nous savons faire celte évalnalidu.

C'est d'abord celui où ^r= i , celui do l'équalion (i) : c'est celui de Riemann.

Le nombre des solutions est alors égal à p.

C'est ensuite celui où q =/)', si l'on a les équali(jns

j'ai démontré, comme je l'ai rappelé au début de ce travail, que le nombre des solutions est égal à pi

D'un autre côté, les u, peuvent toujours être mis sous la forme

ui= vi-h (>;. -H. . .-I- l'i''"",

et cela d'une seule manière (en général du moins d'après les théorèmes de Riemann); d'une seule manière, veux-je dire, si l'on se place au premier point de vue et de /?! manières différentes si l'on se place au second point de vue.

Si donc q:z=p, le nombre des solutions des équations (4) est égal à pi au premier point de vue, à (pi)'' au second point de vue.

Le problème est donc résolu dans les deux cas extrêmes y = i, q '-= p] pour traiter les cas intermédiaires, je vais employer la même méthode dont j'ai

FONCTIONS ABÉLIENNES. 4l^

fait usage pour les équations (5) dans le Mémoire cité du Bulletin de la Société mailiémalique de France. Celte méthode consiste à évaluer le nombre des solutions dans le cas singulier elliptique; ce nombre étant constant sera encore le même dans le cas général.

Soit d'abord/) = 3, ^ = 2; dans le cas singulier elliptique on aura

Soient alors

sis constantes quelconques; posons, pour abréger,

««("i-!- v'i —ei) = 0,,

Les équations (4) s'écriront alors

(ibis) , „, „, „

En général, on aura

de sorte que Oj ne pourra pas s'annuler en même temps que 0',, ni 0^ en même temps que 9',, ni 0;, en même temps que 0',.

Un des facteurs 0,- devra s'annuler ainsi qu'un des facteurs V- ; mais ces deux facteurs ne pourront être de même indice.

Nous pourrons donc faire aulant d'hypothèses qu'il y a d'arrangements de trois lettres, deux à deux, c'est-à-dire six. Adoptons une quelconque de ces hypothèses, par exemple

Pour aller plus loin, il faut se rappeler ce que devient dans le cas singulier elliptique la courbe B qui a pour équation Uj^=c,; elle se décompose et l'on doit avoir : soit

Vi= —, p.j= — (hypothèse:).

soit

l'i = — I i'3= — (hypothèse 2),

4l6 FONCTIONS ABÉLIENNES.

soit

Vi= — ) ('-2= — (hypothèse i).

De même en ce qui concerne c) , on doit avoir : soit

f 2 = -^> 1^3= — (h\ potlièse 4)i

soit

v\ = —, ('3 = — (hypothèse 5),

p', = — , i> 2 = — (hypothèse C).

On peut combiner les hypothèses i, a, 3 avec les hypothèses 4, 5, 6, ce qui fait en tout neuf combinaisons; la plupart doivent être rejelées. On ne peut pas avoir à la fois

car alors

ne serait pas nul en général. Cela exclut les combinaisons

On ne peut pas avoir non plus à la fois

Cela esclul les combinaisons

II ne reste que deux combinaisons

(1,5) et (2,4).

Adoptons la première, les équations

deviennent

d'où, enfin.

ai a-. ai

(•|— i?lH , IS = ") (':;=--)

(une solution et une seule). La coinhinaison (2. 4) nous donnerail une autre solution.

Cliacune de nos sis hypothèses nous donne donc deux solutions; cela tait douze solutions au second point de vue et six au premier point de vue.

Raisonnons de la même manière pour des valeurs quelconques de p et de q; plaçons-nous encore dans le cas singulier elliptique. Le premier membre de chacune des q équations (4) sera le produit de yj facteurs.

Dans chacun de ces produits, un des/) facteurs devra s'annuler; mais, pour la même raison que plus haut, les q facteurs qui s'annuleront devront être d'un indice diflérent.

Nous pouvons donc faire autant d'hypothèses ([u'il y a d'arrangements de /i lettres q à q, soit

Adoptons une de ces hypothèses; les q équations (4) seront remplacées par (/ équations plus simples de la forme

(d) fi,('-/ - ••; +. . .+ i'',v-'i- e'/>) = o,

où i prendra q valeurs diU'érentes comprises entre i cl p, pendant que A' prendra les valeurs i, 2, . . ., q; ii chaque valeur de /. correspond une valeur de i et une seule.

Cela posé, la courbe B se décompose; nous pouvons donc faire/) hypothèses différentes au sujet des c, ; ces hvpothèses peuvent se résumer dans la proposition suivante :

IjCS /7 quantités c, devront être égales à — '■ — > excepte une d^entre elles.

4lS FONCTIONS ABELIENNES.

La même chose es» vraie des quantités

Les p quantités c/' (où A" a une valeur donnée et où i prend les valeurs

I, 2, ...,/)) devront être égales à — '—- excepté une d'entre elles.

Formons un tableau h p colonnes et q lignes, de telle façon que l'élément de la <'''""' colonne et de la /•-t-i''""' ligne soit c;*'; dans chaque ligne uu élément

et un seul ne devra pas être égal à — -^ •

11 y a donc dans le tableau q éléments et il n'y en a que q qui ne siml pas

égaux a •

Distinguons les colonnes de ce tableau en deux catégories; nous rangerons dans la première catégorie les colonnes dont l'indice figure parmi les indices i des équations (6). II y aura donc q colonnes de la première catégorie et p — ^ de la deuxième.

Je dis que dans une colonne de la première catégorie il y a un élémenl qui

n'est pas égal à — '■ — ; car, s'il n'en était pas ainsi, on aurait

(!l, en général, c esl-à-dire pour une valeur quelconque de e, ', on n'aurait pas

e((''i-+- "; -H. ..+ <•;■''-"- ei<') = o.

Dans chaque colonne de lu première catégorie, il y a dcjucun élément différent

de — '—\ je dis qu'il n'y en a qu'un dans chaque colonne; en elfel, il y en a un

dans chacune des q colonnes de la première catégorie et il n'y en a que </ dans tout le tableau.

Ainsi, en supprimant les p — q colonnes de la deuxième catégorie, il nous restera un tableau à q lignes et q colonnes; tous les éléments, sauf cy éléments

singuliers, seront égaux à — ^; dans chaque ligne et dans chaque colonne il y

aura un élément singulier et un seul.

Nous pouvons donc faire, au sujet de la position des éléments singuliers q\ hypothèses diflércntes.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 4l9

A chacune d'elles correspond une solulion des équations (6) el, par conséquent, une solulion des équations (4)-

Cliacuue des — — — ; liynolhèses faites au début avant la formation des

équations (6) nous donnera donc q ! solutions des équations (4)-

En résumé, les équations (4) admettent (aussi bien dans le cas général que dans le cas singulier elliptique)

— - — solutions.

iP -'!)'■

Cela au second point de vue. Au premier point de vue, le nombre des solutions est

autant que d'arrangements de ]) lettres (j à (j.

Dans le cas de ^ := i (cas de Iliemann), ce nombre d'arrangements est égal à

C'est le résultat de Riemann.

Dans le cas de ^ =/>, ce nombre d'arrangements est celui des permutations de p lettres, c'est-à-dire p\ C'est le résultat que j'ai obtenu dans le Mémoire cité du Bulletin de la Sociélé malhémalique de France.

Ainsi se trouvent réunis dans une formule plus compréhensible le résultat de Riemann et le mien. Un chemin est frayé entre les deux domaines précédemment conquis et le but que je me proposais au début de ce travail est en partie atteint.

Considérons encore le cas de ly = /) — i .

Les équations (4) sont alors équivalentes aux suivantes :

En eflet, l'équation 0(u,) = o équivaut à

Ui= f,-

( tr les équations (7) admettent p\ solutions.

4jo fonctions abéliennes.

Les éqiiatioQS (4) doivent donc avoir aussi, au premier point de vue, p\ solutions.

Et, en effet,