VIII. — Décomposition de la courbe

Au paragraphe VI, j'ai défini par les équations (5) une certaine courbe que j'ai appelée A; je transcris ces équations en leur donnant le n" (i),

( Bl M, — ''() = "î

( Hf «i— ej ; = ().

J'ai dit que cette courbe doit se décomposer dans certains cas, et c'est sur ce point que je désire revenir.

Il est aisé de comprendre pourquoi celle décomposition doit a\oir lieu.

Cherchons en effet le degré de la courbe A.

Je suppose yj -= 3, « > 2; la courbe A est alors tracée sur la variété V qui a été définie plus haut; la variété V est de degré 6«' et est située dans l'espace à «^ — I dimensions.

Pour évaluer le degré de A, il faut couper par une variété plane ayant /r' — 2 dimensions et compter le nombre des points d'interseclion.

Cette variété plane sera définie par une seule équation qui sera de la forme

y étant l'une des fonctions d'ordre n qui donne naissance à la vaiiété V. Les trois équations

HiUi— Ci) = o, e(a,— ej ) = o,

admettent Gn solutions; la courbe A est donc de degré G«.

Maintenant donnons des valeurs particulières aux six conbtanles e, et e\ . Soient

FONCTIONS ABÉLIENNES. 4'^I

a7„, Xi ('lant deux points de la coiirhe G, et c,", r,' les valeurs correspondantes de (•/.

Il est clair qu'on satisfera aux équations

8i K,-l- r," j = o, e( Ui^ i',' ) = o en faisant

La courbe B fait donc partie de A, et comme elle est de degré 3/?, il faut bien que A se décompose.

Etudions les circonstances de cette décomposition.

Plaçons-nous d'abord dans le cas singulier elliptique.

La courbe jV se décompose alors toujours en six autres ayant respectivement pour équations

«1 = 2| -!- c'i, II; = a.j -f- e'j,

;/, = Xi-f-ei, «:; = ï;, -f- e',,

u-j= x-i-h e-j, «, = ai + e,,

u,,= a.,-h e-,, ii::= 0L:;-i- e'-,

«;. = iz;. -I- e;, î;^ = aj-l- e',.

Celle de ces six courbes dont les deux équations occupent la i"""" ligue dans ce tableau, je l'appellerai la courbe (a, i). Cela posé, supposons

(^u peut faire trois hypothèses différentes sur r'' ; deux des c" doivent en

efTet être égaux à - ; on peut faire de même trois hypothèses sur v' . Cela fait

en tout neuf hypothèses différentes; je n'en examinerai que deux, toutes les autres s'en déduisant par permutation. Dans l'une comme dans l'autre, la courbe B se décomposant en trois courbes de degré n, nous devrons retrouver ces trois courbes parmi les six courbes (2). Soient d'abord

Les équations (2) deviendront

Mo= —,

(2 bis)