II
On ne retrouve ainsi que l'une des trois courbes dans lesquelles se décompose B, à savoir
La coulradiction n'est qu'apparente. Si, en ellct, nous nous plaçons dans le cas singulier elliptique et si nous faisons
les équations (i) de la courbe A ne sont plus distinctes; elles sont salisfailes toutes les fois que
et toutes les fois que
Les équations ne définissent donc plus une courbe, mais une surface ou variété à deux dimensions. Les trois parties de la courbe B se trouvent sur cette surface.
Mais si, restant dans le cas singulier elliptique, on fait tendre e,, e'.., 63, e'.,
vers ^ et '- • la limite de la courbe A ne contiendra pas la cuurbe B
tout entière.
Si, au contraire, nous plaçant d'abord dans le cas général, nous faisons
FONCTIONS ABELIENNES.
tendre les termes latéraux vers zéro, de façon à nous rapprocher indéfiniment du cas singulier elliptique, si nous prenons
et de telle manière que, à mesure (ju'ou se rapproche du cas singulier, e,, e'.,,
e,. é. tendent vers ^ et -i alors, la nouvelle limite de A contiendra la
courbe B tout entière.
Supposons maintenant
ri=îî:
les équations (2) deviendront
(lier)
Nous retouvons ici les trois parties de la courbe B. Ici encore les équations (2) ne sont pas distinctes. Elles sont satisfaites par tous les points de la surface
et, en outre, par tous les points des deux courbes (2 ter, i ) et (2 ter, 2).
Seulement les choses ne se passent- pas ici comme dans la première hypothèse, et c'est sur ce point que je désirerais attirer l'attention.
Si, restant dans le cas singulier elliptique, nous faisons tendre e-2, e.s, e\ et
e'. vers les limites ^1 ^j
' , ^, la limite de la courbe A contiendra
la courbe B tout entière.
Étudions maintenant la décomposition de A dans le cas général.
Dans le cas de p = 3, on peut supposer que la courbe C est une courbe de quatrième degré sans point double.
424 FONCTIONS ABELIENNES.
Etudions la signification de l'équation
On peut toujours poser
p',' , ('/, i',' étant les valeurs de l'intégrale c, qui correspondent à trois points de C que j'appellerai les points x,, Xo, x,, ou, pour abréger encore, les points i, 2, 3.
De même, nous pouvons toujours poser
les intégrales c,', . . . correspondant à trois points de C que j'appellerai les points 4, 5, 6.
L'équation (3). en vertu du théorème de Riemann, peut être remplacée par la suivante :
(4) (,,— e,. = — r/— cf,
les points -j et 8, qui correspondent aux deux intégrales du second membre de (4), étant deux points quelconques de C. Mais l'équation (4) peut s'écrire
•',' -^ <•? + 'V + «'' + i'i ■+- i-i' + 'V + ft = o;
elle signifie que les huit points i, 2, 3, 4> 5, 6, j, 8 sont sur une même conique.
La signification géométrique de l'équaliou (3), c'est donc que les six points I, 2, 3, 4> 5, 6 doivent être sur une même conique. Considérons maintenant l'équation (3 bis) B ( iii — e'i) = o.
?Sous pourrons toujours poser
et réqualion (.ibis) signifiera que les six points 4: t- fi. 9) 1"^ ' ' s""' sur une même conique.
La courbe A est définie par les équations simultanées (3) et (3 6/.?); si l'on veut satisfaire à la fois à ces deux équations, le problème se posera géométriquement de la manière suivante :
On se donne sur la courbe C six points i, 2, 3, 9, 10, 1 i ,■ il faut faire
FONCTIONS ABELIENNES, ^25
passer par i, 2, .î une conique K, c.i^ par 9, 10, 11 une conique K', e^ de telle façon qwil y ail trois points ^, 5, (y communs àQ et aux deux co/iiqiies.
A chaque soluliou tic co problème correspondra iiu polnl de A. Supposons en particulier que deux des points i, 2, 3 coïncident avec deux des trois points 9, 10, 11; par exemple, 2 avec 10 et 3 avec 1 i , de sorte que
— e',= tv'-i- IV-*- 17.
Qu'ariivera-t-il alors ? Les équations (3) et (3 ftw) de la courbe \ deviendront
fi ( lli -h !■;' -I- if + tf ) = O,
6 ( II, -+- t'I' + rf -{- cf ) = o, et elles admellroul pour solution
ti,= I',— 'Y— 'ï-
C'est là l'équation d'une courbe B'; la courbe A se décompose donc, une des deux parties étant la courbe B'.
Examinons géométriquement les circonstances de cette décomposition. F^es deux coniques K et K' ont déjà deux points communs 2 et 3; si elles doivent en avoir trois autres 4, 5, 6, elles se confondront à moins de se décomposer.
Examinons séparément ces deux hypothèses.
On obtiendra les valeurs do «; (ou des points de A) qui correspondent à la première hypothèse de la manière suivante :
Par les quatre points i, 2, 3, 9, faisons passer une conique; elle coupera la courbe C en quatre autres points, parmi lesquels j'en choisirai trois qui seront les points 4, 5, 6.
Co choix peut se faire de trois manières dillérenles.
Les coniques qui passent par les quatre points i , 2, 3, 9 forment un faisceau. A chaque conique du faisceau correspondent ainsi trois points de A.
Examinons maintenant la seconde hypothèse.
Pour que deux coniques aient cinq points communs, sans se confondre, il faut que chacune d'elles si; décompose en deux droites et que deux de ces droites se confondent. Quatre des cinq points doivent alors se trouver en ligne droite. Les coniques K et K' ont cinq points communs, 2, 3, 4> 5, 6; quatre de ces points doivent être en ligne droite.
