II. P. — IV. v

426 FONCTIONS ABÉLIENNES.

Cela peut se faire de deux manières, de sorle que la seconde hjpolhése se subdivise en deux autres que j'appellerai, pour abréger, la seconde et la troisième hypothèse.

Ou bien, les points 2 et 3 sont en ligne droite avec deux des points 4, i>, ^y, par exemple, avec les points 4, 5; ce sera là la deuxième hypothèse.

Ou bien, les points 4, 5 et 6 sont en ligne droite avec un des points 3 et 3; par exemple, avec le point 3; ce sera là la troisième hypothèse.

Examinons d'abord la deuxième hypothèse.

Les points 2, 3, 4; 5 étant en ligne droite, on aura

La conique K se réduira à la droite 2, 3, ^, 5 et à la droite i, 6; la conique K' se réduira à la droite 2, 3, 4, 5 et à la droite 9, 6.

Les points 4 Gt 5 sont fixes et le point 6 est seul mobile; on aura d'ailleurs

tii= v'l~ iv -H c;' = i-f — 17 — (Y ;

comme le point (i e>t mobile, les points 2 et 3 fixes, je puis écrire cela sous la forme

«,= Vi— Vf— C;

le point X qui correspond à c, étant un point mobile quelconque de C.

C'est là l'équation de la courbe B' et l'on voitainsi d'une autre manière qu'elle doit faire partie de la courbe A. Mais j'ajouterai qu'elle doit faire partie d'une infinité de courbes A; et en efiét nous pouvons laisser les points 2, 3, 4. S fixes et en ligne droite et faire varier les deux autres points i et 9 (et par conséquent les quantités e/ et e\ ); nous ne cesserons pas d'avoir

"/= l'i— Vf— c;

Examinons maintenant la troisième hypothèse. Les points 3, 4; 5, 6 étant en ligne droite, on aura

vf -+- vl -f- vf -H ('/' = o; d'où

i'i = — vf.

Comme les u,- sont des constantes, on voit qu'à la troisième hypothèse correspond seulement un point de A.

La courbe A se décompose donc en deux parties correspondant aux deux

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premières hypothèses; la partie qui correspond à la dciixiéino hypothèse est la courbe B'.

Nous n'obtenons pas ainsi tous les cas de décomposition de la courbe A.

Soient en effet

trois constanli^s quelconques, nous pourrons encore poser

" i = fi — i',' -+■ (-■/ -H t','' , — «; = /, + r/ -F- l-r -^ ('/■ ,

Les équations (3) et (3 bis) signifieront encore que les six points i, 2, 3, 4, 5, 6 sont sur une conique K et les six points 4) ^. 6, 9, 10. 1 1 sur um^ conique K'.

Si deux des points 1, 2, 3 coïncident avec des points 9, 10, 11, ces deux coniques doivent se confondre ou se décomposer. Il en résulte que la courbe A se décomposera encore en deux parties; l'une de ces parties (celle qui correspond à rhj'polhése de la décomposition de K et de K') a pour équation

Ui= Vi-h/i— (Y— (•,".

C'est encore nue courbe B'. On a la courbe B elle-même si l'on suppose