IX. — Cas voisins du cas elliptique
J'ai déjà eu l'occasion, au paragraphe VI, d'étudier les cas voisins du cas singulier elliptique. Nous avons vu que, pour les cas suffisamment voisins de ce cas singulier, la fonction 0 peut se développer suivant les puissances croissantes des termes latéraux.
C'est le développement (6) du paragraphe VI dont nous avons formé plus haut les premiers termes.
Il est aisé d'en former le terme général.
Soit par exemple à former le terme en
en supposant d'abord p =^'i.
Posons
le coefficient du terme clicrché sern
. , .„Oi,ï.)OJ= O'ïi' ^ ' À ! À'! /,";
Je désigne toujours par 0,9.,9;, le premier terme du développement (6) et par 0',''' la dérivée d'ordre yi de la fonction 0,.
Supposons maintenant /> = 4 c' so't à trouver dans le développement (6) le coefficient du terme général en
Soient
71 = /-l.î-t- À|.:i-H Àl.l,
7i = '■1,1+ >-l,2-l- Àv,:i-
Il va sans dire que je pose
Le coefficient clierché sera alors
Il est donc facile dans tous les cas de former le développement (fi). Voici maintenant l'usage que j'en ferai.
Nous avons défini plus haut au paragrapiie IV ci; qu'on doit entendre par surface de trauslalion et par équation ttanslalivc el nous avons vu que l'équation
est translative si la fonction 0 est une fonction spéciale.
Mais on peut se demander si cette équation est encore translative si la fonction 0 est une fonction non spéciale.
Pour résoudre celte question j'étudierai l'équalion
FONCTIONS ABÉLIENNES. 429
ea me servant du développenienl (6) et en supposant que les termes latéraux sont assez petits pour qu'on puisse négliger les ternies d'ordre supérieur de ce développement.
Mais cette étude peut se faire de plusieurs manières.
Nous pouvons d'abord supposer que «, est très voisin de a, , mais que u.,^ u,., U; ne sont pas très voisins de x-,, a-^, a,. C'est ainsi que nous avons obtenu le développement (8) du paragraphe VI dont nous avons f'oiuu- les premiers termes.
Nous avons torini'- les termes du premier ordre et nous avons trouvé, poury;! = 3,
Dans le cas dey? = 4» nous aurions trouvé
Cherclions maintenant à former les termes du deuxième ordre. Soit
Nous trouverons pour ces termes du deuxième ordre, dans le cas de d = 4.
Cette équation peut être remplacée par les suivantes, au même degré d'approximation, c'est-à-dire en négligeant les cubes des ai/ et de «i — aj. iNous introduisons trois paramètres w^, (V;,, w., et nous posons
Les équations (3) peuvent remplacer l'équation (i) en négligeant les cubes des termes latéraux.
Or les équations (3) ont un caractère manifestement translatif. Il semblerait donc que l'équation (i) reste translative même pour les fonctions abéliennes non spéciales. Mais on ne doit pas oublier que les équations (3) ne
43o FONCTIONS ABELIENNES.
sont qu'approchées et nous ne larderons pas à voir que le caractère translatif ne subsiste pas à un degré supérieur d'approximation.
Une seconde hypotlièse est celle où, p étant égal à 4 par exemple ?<, et u-, sont très voisins de a, et a.,, W;, et m-, très dillerenls de a^ et <x,,.
Posons alors
i(| = >., -f- < J|. (/o = 2-2-T- 'li!
t étant un paramètre très petit.
La fonction 0, représentée par le développement (6), se trouvera alors développée suivant les puissances de i; si t est très petit, nous pourrons ne conserver que le premier terme qui est un terme en i- et qui s'écrit
Alors l'équaliou (i ) se réduit à
Dans le cas de /■> = 3, si Wi, u-^, «i représentent les coordonnées d'un point dans l'espace, cette équation représente un cylindre hyperbolique qui peut, d'une infinité de manières, être regardé comme une surface de translation.
Le caractère translatif est également évident pour jd > ?>.
Nous avons encore trois hypothèses à examiner :
y? =:z 3; Wi, u.t et M;, très voisins de ai, a.!, a^,;
/> = 4; "i> "j et H;i très voisins de «i, a-,, a ,; « ., très différent de a^;
yj := 4; "i. «2» ":!! et J<4 très voisins de aj, a.,, a;, et a.i.
Nous nous en occuperons dans les paragraphes suivants.
